[기출문제] 이화여자대학교 미분적분학 2021-1 기말 기출문제 (정답 포함)

3변수 함수 f(x, y, z) = xy^2 + yz^2에 대하여 다음에 답하시오. [7 + 7 = 14pts]

(1) 점 P(3, 1, 1)에서 V = (2, -1, 2) 방향으로 f의 방향미분계수(directional derivative)를 구하시오.

(2) 점 P(3, 1, 1)에서 등위곡면(level surface) f(x, y, z) = 4의 접평면의 방정식을 구하시오.

영역 E에서의 삼중적분 ∭(x, y, z)dV는 원기둥 좌표(cylindrical coordinates)를 이용하여 다음과 같이 표현된다.
[6 + 7 + 7 = 20pts]

∫(0→2π) ∫(0→√2) ∫(√(r^2 - r^2))^(√(4 - r^2)) r z dz dr dθ

(1) 직교 좌표계(rectangular coordinate system)에서 영역 E를 그리시오.
(자신의 그림을 이용하여 간단하게 설명해야 합니다.)

(2) 주어진 삼중적분 ∭ f(x, y, z)dV를 직교 좌표(cartesian coordinates)를 이용하여 dx dy dz 순서의 반복적분으로 표현하시오. (계산하지 마시오.)

(3) 주어진 삼중적분 ∭ f(x, y, z)dV를 구면 좌표(spherical coordinates)를 이용하여 dρ dφ dθ 순서의 반복적분으로 표현하시오. (계산하지 마시오.)

포물선 y = x^2과 직선 y = 2x로 둘러싸인 영역을 D라 하고 C는 D의 경계(boundary)로 양의 방향(positive orientation)이 주어져 있다.
Green 정리를 이용하여 선적분
∮(C) [ (e^(x + y^2)) dx + (e^y + x^2) dy ] 를 구하시오. [16pts]

F(x, y, z) = (xy, x, z)는 벡터장이고 곡면 S는 원기둥 x^2 + y^2 = 1의 내부에 있고 평면 y + z = 2에 속하는 타원 영역이다. S에는 위쪽을 향하는 방향(oriented upward, 즉 z > 0인 방향)이 주어져 있다.
곡선 C는 곡면 S의 경계이고 양의 방향을 가지고 있다. (즉, 위에서 볼 때는 반시계 방향이다.)
[14 + 16 = 30pts]

(1) 곡선 C의 매개방정식을 구하고, 선적분의 정의를 이용하여 ∮(C) F · dr 을 구하시오.
(곡선 C의 방향에 관한 설명이 필요합니다.)

(2) 곡면 S의 매개방정식을 구하고, Stokes 정리를 이용하여 ∮(C) F · dr 을 구하시오.
(곡면 S의 방향에 관한 설명이 필요합니다.)

(1) f(x, y, z) = xy^2 + yz^2
∇f = (y^2, 2xy + z^2, 2yz)
점 P(3,1,1)에서 ∇f = (1, 7, 2)
방향 V = (2, -1, 2) → 단위벡터 = (2, -1, 2) / 3
따라서 방향미분계수 = ∇f · (V/|V|) = (1,7,2)·(2,-1,2)/3 = (2 -7 +4)/3 = -1/3

정답: -1/3

(2) f(x, y, z) = 4
점 (3,1,1)에서 ∇f = (1, 7, 2)
접평면 방정식: 1(x - 3) + 7(y - 1) + 2(z - 1) = 0
정리하면 x + 7y + 2z = 12

정답: x + 7y + 2z = 12

(1) 원기둥 좌표에서 주어진 적분의 범위
θ: 0 → 2π, r: 0 → √2, z: √(r^2 - r^2) → √(4 - r^2)
이는 반지름 0에서 √2까지의 원기둥 안에서, 아래면 z = √(r^2 - r^2), 윗면 z = √(4 - r^2)로 이루어진 영역 E이다.

(2) 직교좌표로 변환하면
x = r cosθ, y = r sinθ, z = z
r^2 = x^2 + y^2
따라서
∭ f(x, y, z) dV = ∫(θ=0→2π) ∫(r=0→√2) ∫(z=√(r^2 - r^2))^(√(4 - r^2)) f(r cosθ, r sinθ, z) * r dz dr dθ
이를 직교좌표로 표현하면
∭ f(x, y, z) dV = ∫(x=-√2→√2) ∫(y=-√(2 - x^2))^(√(2 - x^2)) ∫(z=√(x^2 + y^2 - r^2))^(√(4 - x^2 - y^2)) f(x, y, z) dz dy dx

(3) 구면좌표로 변환:
x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
r^2 = ρ^2 sin^2φ
따라서
∭ f(x, y, z) dV = ∫(θ=0→2π) ∫(φ=0→π/2) ∫(ρ=0→2) f(ρ sinφ cosθ, ρ sinφ sinθ, ρ cosφ) * ρ^2 sinφ dρ dφ dθ

Green 정리: ∮(C) P dx + Q dy = ∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
P = e^(x + y^2), Q = e^y + x^2
∂Q/∂x = 2x, ∂P/∂y = 2y e^(x + y^2)
따라서 ∬(D) (2x - 2y e^(x + y^2)) dA

영역 D: y = x^2 와 y = 2x 사이
∫(x=0→2) ∫(y=x^2→2x) (2x - 2y e^(x + y^2)) dy dx

이중적분 계산 시
∫(y=x^2→2x) 2x dy = 2x(2x - x^2) = 4x^2 - 2x^3
∫(y=x^2→2x) 2y e^(x + y^2) dy = [ e^(x + y^2) ]_(x^2→2x) = e^(x + 4x^2) - e^(x + x^4)

따라서
∫(0→2) [4x^2 - 2x^3 - (e^(x + 4x^2) - e^(x + x^4)) ] dx

정답:
∮(C) = ∫(0→2) [4x^2 - 2x^3 - e^(x + 4x^2) + e^(x + x^4)] dx

F(x, y, z) = (xy, x, z)

곡면 S: 평면 y + z = 2, 원기둥 x^2 + y^2 ≤ 1

(1) 곡선 C는 평면 y + z = 2 와 원기둥 x^2 + y^2 = 1의 교선.
평면에서 z = 2 - y
따라서 C의 매개방정식:
r(t) = (cos t, sin t, 2 - sin t), 0 ≤ t ≤ 2π
dr/dt = (-sin t, cos t, -cos t)
F(r(t)) = (cos t * sin^2 t, cos t, 2 - sin t)
F · dr = (cos t * sin^2 t)(-sin t) + cos t * cos t + (2 - sin t)(-cos t)
= -cos t * sin^3 t + cos^2 t - 2cos t + sin t * cos t

∮ F · dr = ∫(0→2π) [-cos t * sin^3 t + cos^2 t - 2cos t + sin t * cos t] dt

적분 결과: 0 + π - 0 + 0 = π

정답: ∮ F · dr = π

(2) Stokes 정리 이용
∮ F · dr = ∬(S) (curl F) · n dS
curl F = (∂/∂y of z - ∂/∂z of x, ∂/∂z of xy - ∂/∂x of z, ∂/∂x of x - ∂/∂y of xy)
= (0 - 0, y - 0, 1 - x) = (0, y, 1 - x)

평면 y + z = 2 의 법선벡터는 (0,1,1), 단위벡터 n = (0,1,1)/√2
따라서 (curl F) · n = (0, y, 1 - x) · (0,1,1)/√2 = (y + 1 - x)/√2
∬(S) (curl F)·n dS = (1/√2) ∬(x^2 + y^2 ≤ 1) (y + 1 - x) dA
x, y 항은 원에 대해 대칭이므로 적분 0
남는 것은 (1/√2) * ∬(x^2 + y^2 ≤ 1) 1 dA = (1/√2) * π(1)^2 = π/√2

정답: ∮ F · dr = π/√2