[기출문제] 이화여자대학교 미분적분학 2021-1 중간 기출문제 (정답 포함)

1. [16pts]
다음과 같이 정의된 수열 {aₙ}에 대해 다음 물음에 답하시오.

a₁ = 3,
aₙ₊₁ = 6 - 3 / aₙ (n ≥ 1)

(1) 수열 {aₙ}이 단조증가하고 위로유계임을 증명하시오.

(2) (1)의 결과를 이용하여 극한 lim (n→∞) aₙ 을 구하시오.

2. [10pts]
다음 멱급수의 수렴반지름을 구하시오.

∑ₙ₌₁^∞ [ n(1 + 2 + ... + n) / (1² + 2² + ... + n²) ] (x - 5)ⁿ

3. [15pts]
극곡선
r = sin(2θ), (π/2) ≤ θ ≤ π

에 대해 물음에 답하시오.

(1) 주어진 극곡선을 극좌표계에 그리시오. 주어진 범위에서 각의 변화에 따라 극곡선이 그려지는 과정을 설명해야 합니다.

(2) θ = 3π/4 일 때, 극곡선의 접선의 방정식을 구하시오.

4. [13pts]
C를 다음과 같이 정의되는 ℝ³에서의 곡선이라 하자.

r⃗(t) = (sin(3t), cos(3t), 4t), t ∈ ℝ

C의 단위접선벡터 T⃗(t)와 곡률 κ(t)을 구하시오.

5. [16pts]
함수 f가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

f(x, y) =
 { (xy + y³) / (x² + y²) , (x, y) ≠ (0, 0)
 { 0 , (x, y) = (0, 0)

(1) 극한 lim (x,y)→(0,0) f(x, y) 가 존재하면 찾고, 그렇지 않으면 극한이 존재하지 않음을 보이시오.

(2) y에 관한 f의 편도함수 fᵧ(x, y)를 구하시오.
 (식을 간단하게 표현하시오.)

6. [10pts]
f(x, y) = ln(x² + y), x = uv, y = u + 2v 라 하자.
Chain Rule을 이용하여 u = 1, v = 2에서의 편미분계수

∂f/∂u |(u=1,v=2), ∂f/∂v |(u=1,v=2)

를 구하시오.

(1) f(x) = 6 - 3/x 이므로 f'(x) = 3/x^2 > 0 이다. 따라서 f(x)는 증가함수이다.
고정점 L은 L = 6 - 3/L → L^2 - 6L + 3 = 0 → L = 3 ± sqrt(6).
a1 = 3 은 3 - sqrt(6) < a1 < 3 + sqrt(6) 이므로 수열 {an}은 단조 증가하고 위로 유계이다.

(2) 단조 증가하고 위로 유계이므로 수렴한다.
극한 L은 L = 6 - 3/L → L^2 - 6L + 3 = 0 → L = 3 ± sqrt(6).
따라서 an의 극한은 3 + sqrt(6).

정답: 3 + sqrt(6)

2. 
cn = n(1+2+...+n) / (1^2+2^2+...+n^2) = 3n / (2n+1).
lim cn = 3/2 이므로 수렴반지름 R = 1.

정답: R = 1

3. 
r = sin(2θ), π/2 <= θ <= π

(1) θ가 π/2에서 π로 변할 때 2θ는 π에서 2π까지 변한다.
sin(2θ)는 0 → -1 → 0으로 변하므로 r은 음수이고,
이는 반대 방향으로 한 개의 꽃잎(잎모양)이 그려진다.

(2) θ = 3π/4 일 때
r = sin(3π/2) = -1
x = r cos θ = √2/2
y = r sin θ = -√2/2
기울기 dy/dx = 1
따라서 접선 방정식은 y = x - √2

정답: y = x - √2

4. 

r(t) = (sin 3t, cos 3t, 4t)

r'(t) = (3cos 3t, -3sin 3t, 4), 속력 = 5
T(t) = (3/5 cos 3t, -3/5 sin 3t, 4/5)
T'(t) = (-9/5 sin 3t, -9/5 cos 3t, 0), 크기 = 9/5
곡률 kappa = (9/5) / 5 = 9/25

정답:
T(t) = (3/5 cos 3t, -3/5 sin 3t, 4/5)
kappa = 9/25

5. 
f(x,y) = (xy + y^3) / (x^2 + y^2), (x,y) ≠ (0,0)
f(0,0) = 0

(1) x = ky로 접근 시 f(ky,y) = (k + y) / (k^2 + 1) → k / (k^2 + 1).
경로에 따라 극한값이 다르므로 극한은 존재하지 않는다.

(2) y에 대한 편도함수
fy(x,y) = (x^3 - x y^2 + 3x^2 y^2 + y^4) / (x^2 + y^2)^2, (x,y) ≠ (0,0)
fy(0,0) = 1

정답:
(1) 극한 존재하지 않음
(2) fy(0,0) = 1

6. 
f(x,y) = ln(x^2 + y), x = u v, y = u + 2v

fx = 2x / (x^2 + y)
fy = 1 / (x^2 + y)

∂f/∂u = fx * v + fy = (2xv + 1) / (x^2 + y)
∂f/∂v = fx * u + 2fy = (2xu + 2) / (x^2 + y)

u = 1, v = 2 → x = 2, y = 5 → x^2 + y = 9

∂f/∂u = (8 + 1) / 9 = 1
∂f/∂v = (4 + 2) / 9 = 2/3

정답:
∂f/∂u = 1
∂f/∂v = 2/3