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수식은 LateX 문법으로 표기
1. 운동방정식 & 케플러 법칙 (1.jpg)
1.
사이언스올의 과학백과사전에 따르면 운동방정식은 물체의 운동을 기술하는 변수와 시간에 따른 관계로 나타내는 방정식이다.
이때 변수들은 $\Delta S, v, p$ 등의 변수를 사용할 수 있다. 주로 $F=ma$를 사용한다. 운동방정식을 구하는 이유는 물체의 운동을 관찰하고 분석하여 이를 표현하기 위한 것이다. 가까운 미래에 운동방정식이 적용된 기구는 '루나비티'가 있다. 도쿄대학 연구진으로 있던 레키모토 랩이 개발한 웨어러블 드론이다. 아래로 힘이 작용해 작용반작용 법칙에 의해 착용자의 $\Sigma F$를 일시적으로 0으로 만들 수 있다. 두 번째는 '이온풍 비행기'다. MIT에서 개발한 기술인데 여기에도 전자기력과 관련된 운동방정식을 적용할 수 있다. 가까운 미래에 상용화될 수 있다.
2. (i)
케플러 제2법칙의 유도과정을 보면 $\vec{\tau}_{ext} = 0$ 이므로 $\vec{L} = \text{constant}$ 일 때 케플러 제2법칙이 성립한다.
두 물체 간의 중력이 사라지면 (상호작용이 없다면) $\vec{F}_g = 0$ 이다.
즉 $\vec{\tau} \equiv \vec{r} \times \vec{F}_g = \vec{r} \times \vec{0} = 0 = \frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ 이므로 $\vec{L}$이 일정하고 케플러 제2법칙이 성립한다. 단순히 중력만 사라진다면, Angular momentum(각운동량)이 보존되므로 케플러 제2법칙은 유효하다.
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3. 문제 3번 (2.jpg)
(a) 모든 물체의 크기는 무시한다고 가정하자.
$72 \text{km/h} = 20 \text{m/s}$
① detect (car $20\text{m/s}$) --- (obstacle) [거리 50m]
② decide ($+0.1\text{s}$) (이동거리 $= 20\text{m/s} \times 0.1\text{s} = 2\text{m}$) --- [남은 거리 48m]
③ (braking) [거리 40m] --- [남은 거리 8m]
* $\Delta S = v_0 \Delta t + \frac{1}{2} a \Delta t^2 = 20 \times 4 + \frac{1}{2}(-5) \times 4^2 = 40\text{m}$
* $\Delta v = 20\text{m/s} = a \Delta t \rightarrow \Delta t = 4\text{s}$ ($= -5\text{m/s}^2 \times 4\text{s}$)
* $\therefore (\text{answer}) = 8\text{m}$
(b)
① (car $20\text{m/s}$) --- [2m] --- [Van $15\text{m/s}$] --- [거리 50m]
② detect -> hit the ground
* $2[\text{m}] = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2$
* $\therefore t^2 = \frac{4}{9.8}, \quad t = \frac{2}{3} (\because \sqrt{9.8} \approx 3)$
* 거리 계산: $50 - (20-15) \times \frac{2}{3} = \frac{140}{3}\text{m}$
③ decide (car $20\text{m/s}$) --- (van $15\text{m/s}$)
* $\frac{140}{3} - 2\text{m} = \frac{134}{3}\text{m}$ ($\because$ 3.(a)의 ②와 동일한 방법)
④ (stop process)
* $\frac{134}{3} - 40 = \frac{14}{3}\text{m}$ ($\because$ 3.(a)의 ③과 동일한 방법)
* $\therefore (\text{answer}) = \frac{14}{3}\text{m}$
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4. 문제 4번 (3.jpg)
(a) bullet과 block이 충돌할 때 $F_{ext}=0$ 이므로 두 물체를 포함하는 계의 $\Delta p = 0$ 이다 ($p$ 보존).
즉 $m_1 v_{01} = (m_1+m_2)v' \quad \cdots$ ①
장력은 운동방향에 수직이므로 $W_T = 0$ 이다.
즉, $W_{\Sigma F} = -(m_1+m_2)gh = -\frac{1}{2}(m_1+m_2)(0^2 - v'^2)$
$\Rightarrow v'^2 = 2gh \quad \cdots$ ②
①, ② $\Rightarrow v_{01} = \frac{m_1+m_2}{m_1}v' = \frac{m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}$
(b) bullet과 block이 충돌할 때 $F_{ext}=0$ 이므로 두 물체를 포함하는 계의 $\Delta p = 0$ 이다 ($p$ 보존).
즉 $m_3 v_{03} = (m_3+m_4)v'' \quad \cdots$ ①
이후 $f(\text{마찰력}) = \mu_k N = \mu_k (m_3+m_4)g \quad \cdots$ ②
블록이 최대로 이동하면 마지막 위치에서 속도는 0이다.
즉, $W_{\Sigma F} = -f \cdot s = \frac{1}{2}(m_3+m_4)(0^2 - v''^2)$ (모든 일이 +)
$= -\mu_k(m_3+m_4)g \cdot s \quad (\because \text{②})$
즉 $s = \frac{v''^2}{2\mu_k g} = \frac{m_3^2 v_{03}^2}{2\mu_k g (m_3+m_4)^2} \quad (\because \text{①})$
(c)
$S = \frac{(0.1)^2(10.1)^2}{2 \cdot (0.5)(10)(10.1)^2} = 0.001[\text{m}]$
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5. 문제 5번 (4.jpg)
(a) $T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM_s}\right)a^3$
여기서 $M_s = 36m_{sun}$, $a = \frac{r_2+r_1}{2} = \frac{r}{2}$
$\therefore T_{M2}^2 = \frac{4\pi^2}{36Gm_{sun}} \left(\frac{r}{2}\right)^3$
$T_{M2} = \frac{r^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{2GM_{sun}}}$
(b) Center of mass CM의 좌표를 0이라 하면
$0 = \frac{M_1 r_1 - M_2 r_2}{M_1 + M_2} = 0 \quad \therefore \frac{r_1}{r_2} = \frac{M_2}{M_1} = \frac{29}{36}$
(c) $F=ma$ 이용
구심력 $F_{M1} = M_1 r_1 \omega^2 = \frac{GM_1 M_2}{r^2} \cdots$ ①, $F_{M2} = M_2 r_2 \omega^2 = \frac{GM_1 M_2}{r^2} \cdots$ ②
등식: $\frac{①}{M_1}$과 $\frac{②}{M_2}$를 합하면: $(r_1+r_2)\omega^2 = \frac{(M_1+M_2)G}{r^2}$
$\omega^2 = \frac{G(M_1+M_2)}{r^3} \quad (\because r = r_1+r_2)$
$\omega = \frac{\sqrt{G(M_1+M_2)}}{r^{\frac{3}{2}}}$
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6. 문제 6번 (5.jpg)
(a) $\Delta E_{int} = Q + W$
$+800\text{J} = x\text{J} + (-500\text{J})$
(과정 $A \to B \to C$와 $A \to C$가 같다.)
$\therefore (\text{answer}) = +1300\text{J}$
(b) $P_A = 5P_C$
$W = -\int_{V_c}^{V_D} P dV$ 이다.
문제 조건에서 $-\int_{V_A}^{V_B} P dV = -500\text{J} = -(①+②)$
$A_{i}: -\int_{V_c}^{V_D} P dV = -(-(②)) = ② = 100\text{J}$
(①+② : ② = 5 : 1 이므로)
(c) (a)에서 $\Delta E_{int, A \to C} = 800\text{J}$, 즉 $\Delta E_{int, C \to A} = -800\text{J}$
$\Delta E_{int, C \to D \to A} = Q_{CA} + W_{CD}$
$-800\text{J} = Q_{CA} + 100\text{J}$
$\therefore Q_{CA} = -900\text{J}$
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