[기출문제] 숭실대 미분적분학 2020-1 중간 기출문제 (정답 포함)

숭실대 미분적분학 2020-1 중간 기출문제 (정답 포함)

 

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	숭실대/미분적분학
시험명	2020-1 중간
교수명	최혜경
문항수/형식	풀이형 11문제
정답/해설	✅ 있음
파일형식	-

 

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

 

미적분학의 적분법 응용(부정적분·정적분), 부분적분·치환적분, 유리함수 적분, 영역 넓이, 회전체 부피·곡면 넓이, 곡선 길이, 이상적분의 수렴성을 다루는 문제

 

 

📚 키워드

 

 

 

3. 기출 미리보기

 

 

(1) 부정적분 ∫ (2x - 1) / (2x^2 - 6x + 5) dx 를 구하시오.

 

 

 

 

4. 자료 보기

 

[기출 문제] 

 

 

(1) 부정적분 ∫ (2x - 1) / (2x^2 - 6x + 5) dx 를 구하시오. (2)곡선 y^2 = 4x 와 직선 2x - y = 12 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (3)0 < x < 2π 인 범위에서 두 곡선 y = sin x, y = cos x 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (4)곡선 y = x^2 - 2 와 직선 y = x 로 둘러싸인 영역을 x = -1 을 회전축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하시오. (5)두 점 (1,0) 과 (8,3) 사이의 곡선 (y + 1)^3 = x^2 의 길이를 구하시오. (6)곡선 y = x^4/4 + 1/(8 x^2), 1 ≤ x ≤ 2 를 y축으로 회전시킨 회전곡면의 넓이를 구하시오. (7)부정적분 ∫ x^2 ln x dx 를 구하시오. (8)부정적분 ∫ tan^2 x · sec^4 x dx 를 구하시오. (9)부정적분 ∫ (x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1) / (x^3 - 2x^2 + x) dx 를 구하시오. (10)정적분 ∫_{1}^{e} 1 / [ x (ln x)^3 ] dx 의 수렴 여부와 값(가능하면)을 구하시오. (참고: 이 적분은 x=1에서 특이점을 가짐) (11)적분 ∫_{1}^{∞} (1 + e^{-√x}) / x dx 의 수렴·발산을 결정하시오.

 

 

 

[정답] 

 

(1)1. 분모를 u = 2x^2 - 6x + 5 로 두면 du = (4x - 6) dx 이다. 따라서 분자(2x - 1)를 (4x - 6)의 선형결합으로 나타낸다. 2. 2x - 1 = k(4x - 6) + m 이라 두고 계수 비교: 4k = 2 → k = 1/2 -6k + m = -1 → -3 + m = -1 → m = 2 따라서 (2x - 1)/(2x^2 - 6x + 5) = (1/2)*(4x - 6)/(2x^2 - 6x + 5) + 2/(2x^2 - 6x + 5) 3. 첫 번째 적분: ∫ (1/2)*(4x - 6)/(2x^2 - 6x + 5) dx = (1/2) ∫ (du/u) = (1/2) ln|u| = (1/2) ln|2x^2 - 6x + 5| 4. 두 번째 적분을 위해 분모를 완전제곱으로 만든다. 2x^2 - 6x + 5 = 2[(x - 3/2)^2 + 1/4] = 2[(x - 3/2)^2 + (1/2)^2] 따라서 ∫ 2/(2x^2 - 6x + 5) dx = ∫ 1/[(x - 3/2)^2 + (1/2)^2] dx = 2 arctan( 2(x - 3/2) ) = 2 arctan( 2x - 3 ) 5. 두 항을 합하면 최종 부정적분은 (1/2) ln|2x^2 - 6x + 5| + 2 arctan(2x - 3) + C (2)1. 직선을 y = 2x - 12 로 바꾼다. 2. 교점을 구한다: y = 2x - 12 를 y^2 = 4x 에 대입 (2x - 12)^2 = 4x 4x^2 - 48x + 144 = 4x 4x^2 - 52x + 144 = 0 x^2 - 13x + 36 = 0 (x - 4)(x - 9) = 0 → x = 4, 9 y(4) = -4, y(9) = 6 3. x를 y로 표현하면 포물선: x = y^2/4 직선: x = (y + 12)/2 y 범위는 -4 ≤ y ≤ 6 4. 넓이: A = ∫_{-4}^{6} [ x_line - x_parabola ] dy = ∫_{-4}^{6} [ (y+12)/2 - y^2/4 ] dy 5. 적분 전개: ∫ (1/2 y + 6 - 1/4 y^2) dy = (1/4 y^2 + 6y - 1/12 y^3) 평가: at y=6 : -18 + 9 + 36 = 27 at y=-4: (-1/12)(-64) + 6(-4) + 1/4(16) = (64/12) - 24 + 4 = 16/3 - 24 + 4 = -44/3 6. 넓이: A = 27 - (-44/3) = 27 + 44/3 = (81 + 44)/3 = 125/3 (3) 1. 교점: sin x = cos x → tan x = 1 x = π/4, 5π/4 (0~2π) 2. 넓이 = ∫ |sin x - cos x| dx, 구간별 부호 고려 (1) 0 ~ π/4 : cos > sin → integrand = cos - sin (2) π/4 ~ 5π/4 : sin > cos → integrand = sin - cos (3) 5π/4 ~ 2π : cos > sin → integrand = cos - sin 3. 원시함수 ∫(cos - sin) dx = sin + cos ∫(sin - cos) dx = -cos - sin 4. 구간별 계산 I1 = [sin+cos]_{0}^{π/4} = (√2/2+√2/2) - (0+1) = √2 - 1 I2 = [-cos - sin]_{π/4}^{5π/4} = [ -(-√2/2) - (-√2/2) ] - [ -(√2/2) - (√2/2) ] = √2 - (-√2) = 2√2 I3 = [sin+cos]_{5π/4}^{2π} = (0+1) - (-√2/2 - √2/2) = 1 + √2 5. 전체 넓이 A = I1 + I2 + I3 = (√2 -1) + 2√2 + (1 + √2) = 4√2 (4) 1. 교점: x^2 - 2 = x x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 → x = -1, 2 2. 회전축: x = -1 → cylindrical shell 사용 반지름 = x - (-1) = x + 1 높이 = 상함수 - 하함수 = x - (x^2 - 2) = -x^2 + x + 2 3. 부피: V = 2π ∫_{-1}^{2} (x+1)(-x^2 + x + 2) dx 4. 전개: (x+1)(-x^2 + x + 2) = -x^3 + 3x + 2 5. 적분: ∫(-x^3 + 3x + 2) dx = -x^4/4 + (3/2)x^2 + 2x 6. 평가 F(2) = -16/4 + (3/2)*4 + 4 = -4 + 6 + 4 = 6 F(-1)= -1/4 + (3/2)*1 - 2 = -1/4 + 3/2 - 2 = -3/4 차 = 6 - (-3/4) = 27/4 7. V = 2π * 27/4 = (27/2)π (5) 1. x = (y+1)^(3/2) (양의 가지 선택, 주어진 점들 모두 x>0) 2. dx/dy = (3/2)(y+1)^(1/2) 3. (dx/dy)^2 = (9/4)(y+1) 1 + (dx/dy)^2 = 1 + (9/4)(y+1) = (9y + 13)/4 sqrt = (1/2) sqrt(9y + 13) 4. 길이 L: L = ∫_{y=0}^{3} (1/2)√(9y+13) dy 5. 치환: u = 9y + 13 → du = 9 dy → dy = du/9 y=0 → u=13, y=3 → u=40 L = (1/18) ∫_{13}^{40} u^(1/2) du = (1/18)*(2/3) [u^(3/2)]_{13}^{40} = (1/27)(40^(3/2) - 13^(3/2)) 6. 40^(3/2) = 80√10 13^(3/2) = 13√13 (6) 1. 회전곡면넓이 공식 (x로 매개): S = 2π ∫ x * sqrt(1 + (dy/dx)^2 ) dx 2. y' = d/dx (x^4/4 + 1/(8x^2)) = x^3 - (1/4)x^{-3} 3. (y')^2 = x^6 - (1/2) + (1/16)x^{-6} 1 + (y')^2 = x^6 + 1/2 + 1/16 x^{-6} = (x^3 + 1/(4x^3))^2 sqrt = x^3 + 1/(4x^3) 4. integrand: x * ( x^3 + 1/(4x^3) ) = x^4 + 1/(4x^2) 5. S = 2π ∫_{1}^{2} [ x^4 + 1/(4x^2) ] dx 6. 적분: ∫ x^4 dx = x^5/5 ∫ (1/4)x^{-2} dx = -1/(4x) 7. 평가 at x=2 : 32/5 - 1/8 = 251/40 at x=1 : 1/5 - 1/4 = -1/20 = -2/40 차 = 251/40 - (-2/40) = 253/40 8. S = 2π * 253/40 = (253/20)π (7) 1. 부분적분을 사용한다. u = ln x, dv = x^2 dx. 그러면 du = (1/x) dx, v = ∫ x^2 dx = x^3/3. 2. 부분적분 공식: ∫ u dv = u v - ∫ v du 이므로 ∫ x^2 ln x dx = (ln x) * (x^3/3) - ∫ (x^3/3) * (1/x) dx = (x^3/3) ln x - (1/3) ∫ x^2 dx. 3. 나머지 적분 계산: ∫ x^2 dx = x^3/3, 따라서 (1/3) ∫ x^2 dx = (1/3) * (x^3/3) = x^3/9. 4. 결합하면 ∫ x^2 ln x dx = (x^3/3) ln x - x^3/9 + C. (8) 1. 식을 정리: tan^2 x = sec^2 x - 1 이므로 tan^2 x · sec^4 x = (sec^2 x - 1) · sec^4 x = sec^6 x - sec^4 x. 2. 따라서 적분은 ∫ tan^2 x sec^4 x dx = ∫ sec^6 x dx - ∫ sec^4 x dx. 3. 치환 u = tan x 를 사용한다. 그러면 du = sec^2 x dx 이고 sec^4 x dx = sec^2 x · sec^2 x dx = (1+u^2) du, sec^6 x dx = sec^4 x · sec^2 x dx = (1+u^2)^2 du. 4. 각각 적분: ∫ sec^6 x dx = ∫ (1+u^2)^2 du = ∫ (1 + 2u^2 + u^4) du = u + (2/3) u^3 + (1/5) u^5 + C = tan x + (2/3) tan^3 x + (1/5) tan^5 x + C. ∫ sec^4 x dx = ∫ (1+u^2) du = u + (1/3) u^3 + C = tan x + (1/3) tan^3 x + C. 5. 차를 취하면: ∫ tan^2 x sec^4 x dx = [tan x + (2/3)tan^3 x + (1/5)tan^5 x] - [tan x + (1/3)tan^3 x] + C = ( (2/3)-(1/3) ) tan^3 x + (1/5) tan^5 x + C = (1/3) tan^3 x + (1/5) tan^5 x + C. (9) 1. 분자 차수(4) ≥ 분모 차수(3)이므로 다항식 나눗셈을 먼저 수행한다. 나눗셈: (x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1) ÷ (x^3 - 2x^2 + x) 1차 몫: x x*(x^3 - 2x^2 + x) = x^4 - 2x^3 + x^2 빼기 → remainder1 = (x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x +1) - (x^4 -2x^3 + x^2) = x^3 + x^2 -4x +1 2차 몫 추가: +1 1*(divisor) = x^3 - 2x^2 + x 빼기 → remainder = (x^3 + x^2 -4x +1) - (x^3 -2x^2 + x) = 3x^2 -5x +1 따라서 분수식 = x + 1 + (3x^2 -5x +1) / [x(x-1)^2]. 2. 나머지 분수에 대해 부분분수 분해: (3x^2 -5x +1) / [x(x-1)^2] = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2. 양변을 통분: 3x^2 -5x +1 = A(x-1)^2 + B x (x-1) + C x. 전개: A(x^2 -2x +1) + B(x^2 - x) + C x = (A + B) x^2 + (-2A - B + C) x + A. 계수 비교: 상수항: A = 1. x^2 항: A + B = 3 → 1 + B = 3 → B = 2. x 항: -2A - B + C = -5 → -2 -2 + C = -5 → C = -1. 따라서 분해결과: (3x^2 -5x +1)/[x(x-1)^2] = 1/x + 2/(x-1) - 1/(x-1)^2. 3. 원래 적분은 ∫ [ x + 1 + 1/x + 2/(x-1) - 1/(x-1)^2 ] dx. 4. 항별 적분: ∫ x dx = x^2/2 ∫ 1 dx = x ∫ 1/x dx = ln|x| ∫ 2/(x-1) dx = 2 ln|x-1| ∫ -1/(x-1)^2 dx = +1/(x-1) (왜냐하면 ∫ (x-1)^{-2} dx = -(x-1)^{-1}) 5. 결합하면 최종식: ∫ ... dx = x^2/2 + x + ln|x| + 2 ln|x-1| + 1/(x-1) + C. (10) 1. 치환 u = ln x 을 사용한다. 그러면 du = dx / x 이며, x = 1 → u = 0, x = e → u = 1. 2. 따라서 적분은 ∫_{x=1}^{e} 1/[ x (ln x)^3 ] dx = ∫_{u=0}^{1} u^{-3} du. 3. ∫ u^{-3} du 를 계산하면 ∫ u^{-3} du = u^{-2}/(-2) = -1/(2 u^2) + C. 4. 불완전(특이)점 u → 0^+ 로 인해 적분을 부정적분 형태로 평가: lim_{ε→0^+} ∫_{ε}^{1} u^{-3} du = lim_{ε→0^+} [ -1/(2u^2) ]_{u=ε}^{1} = lim_{ε→0^+} ( -1/2 + 1/(2 ε^2) ) = +∞. 5. 따라서 주적분은 발산(무한대로 발산)한다. 즉, 수렴하지 않는다. (11) 1. 적분을 두 항으로 나눈다: ∫_{1}^{∞} (1 + e^{-√x})/x dx = ∫_{1}^{∞} (1/x) dx + ∫_{1}^{∞} e^{-√x}/x dx. 2. 첫 번째 항: ∫_{1}^{∞} 1/x dx = [ln x]_{1}^{∞} = lim_{R→∞} ln R = +∞. 따라서 첫 번째 항은 발산한다. 3. 두 번째 항의 수렴성은 확인할 필요가 있으나, 전체 적분의 판정에 있어 한 항이 발산하면 전체는 발산한다(양의 항이므로 발산 방향은 +∞). (참고: 두 번째 항은 실제로 수렴한다.) 확인: 치환 t = √x → x = t^2, dx = 2t dt. 적분 변환: ∫_{1}^{∞} e^{-√x}/x dx = ∫_{t=1}^{∞} e^{-t} / t^2 · (2t dt) = 2 ∫_{1}^{∞} e^{-t}/t dt, 이 적분은 지수감쇠로 인해 수렴한다(불형식적: ∫ e^{-t}/t dt 는 수렴). 4. 하지만 첫 번째 항이 발산하므로 전체 ∫_{1}^{∞} (1 + e^{-√x})/x dx 는 발산한다.