[기출문제] 성균관대 회로이론 2023-1 기말 기출문제 (정답 포함)

성균관대 회로이론 2023-1 기말 기출문제 (정답 포함)

 

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	성균관대/회로이론
시험명	2023-1 기말
교수명	-
문항수/형식	풀이형 4문제
정답/해설	✅ 있음
파일형식	-

 

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

 

회로이론(Electric Circuits) 기말시험 문제로, 1차 RC 과도응답, 스위칭 회로 해석, 2차 RLC 회로 미분방정식 해석, 자연응답 및 강제응답, 초기조건 적용을 종합적으로 묻는 문제

 

 

📚 키워드

 

 

RC 과도응답, 시간상수(τ), 캐패시터 전압 연속성, 스위칭 회로, 1차/2차 선형 미분방정식, 고유방정식, 감쇠계수(α), 고유진동수(ω₀), 자연응답, 강제응답, 인덕터 전압 vL(t)v_L(t)vL​(t)

 

3. 기출 미리보기

 

 

 

 

 

 

4. 자료 보기

 

[기출 문제] 

 

 

 

 

[정답] 

 

### **문제 1: RC 회로의 파형 그리기** **문제 분석:** * **회로 형태:** 전류원($i_S$), 저항($R=100\Omega$), 커패시터($C=1\text{F}$)가 병렬로 연결된 회로입니다. (문제 텍스트에는 'series'라고 되어 있으나, 회로도는 전류원이 포함된 병렬 구조(Norton 형태)이며, 전류원 문제에서 저항이 의미를 가지려면 병렬이어야 하므로 회로도를 기준으로 풉니다.) * **시상수($\tau$):** $\tau = RC = 100\Omega \times 1\text{F} = 100\text{ sec}$. * **입력:** $i_S(t)$는 폭이 1초인 펄스 전류입니다. **풀이:** 시상수($\tau=100\text{s}$)가 입력 펄스의 폭($1\text{s}$)보다 매우 큽니다. 이는 커패시터가 충전되는 속도가 매우 느리다는 것을 의미합니다. 1. **전압 $v_C(t)$:** * 커패시터 전압은 전류의 적분 형태를 띱니다 ($v_C = \frac{1}{C}\int i_C dt$). * $\tau$가 매우 크므로 저항으로 빠져나가는 전류($v_C/R$)는 무시할 만큼 작습니다. 즉, 입력 전류 $i_S$의 대부분이 커패시터 충전에 쓰입니다 ($i_C \approx i_S$). * **0~1초:** 1A가 들어옵니다. $v_C(t) = \frac{1}{1}\int_0^t 1 dt = t$ (V). (1초일 때 1V 도달) * **1~2초:** 전류가 0A입니다. 커패시터는 저항을 통해 방전해야 하지만, 시상수가 100초로 매우 길어 전압은 거의 1V로 유지됩니다. * **2~3초:** 0A입니다. 전압 유지 (약 1V). * **3~4초:** 다시 1A가 들어옵니다. 전압은 다시 선형적으로 증가합니다. $v_C(t) \approx 1 + (t-3)$ (V). (4초일 때 2V 도달) * **4~5초:** 전류 0A. 전압 유지 (약 2V). 2. **전류 $i_C(t)$:** * 위에서 언급했듯, 초기에 $v_C$가 작을 때는 저항으로 전류가 거의 흐르지 않습니다. * 따라서 **$i_C(t) \approx i_S(t)$** 와 거의 동일한 파형을 가집니다. **정답 요약 (그림):** * **$i_C(t)$:** 문제의 $i_S(t)$ 그래프와 동일한 모양 (사각형 펄스 두 개). * **$v_C(t)$:** $i_S$가 1일 때는 기울기 1로 증가하는 직선, $i_S$가 0일 때는 값이 유지되는 평탄한 선(계단형으로 증가하는 모양). --- ### **문제 2: 1차 RC 회로의 스위칭 응답** **문제 분석:** * **$t < 0$ (초기 상태):** 스위치가 닫혀 있어 2V 전압원이 커패시터에 연결되어 있습니다. 커패시터는 완전히 충전된 상태입니다. * $v_C(0) = 2\text{ V}$ * **$t \ge 0$:** 스위치가 열리면서(화살표 방향 고려) 2V 전원이 끊어집니다. 커패시터에 축적된 에너지가 우측 저항 네트워크를 통해 방전됩니다. **풀이:** 1. **등가 저항 ($R_{eq}$) 구하기:** 커패시터 양단에서 바라본 우측 회로의 테브난 등가 저항을 구해야 합니다. * 회로를 보면, 커패시터($1\mu\text{F}$)와 병렬로 $2\text{k}\Omega$ 저항이 있고, 그 옆에 $1\text{k}\Omega$와 $1\text{k}\Omega$가 직렬로 연결된 가지가 병렬로 붙어 있는 구조입니다. (스위치가 열린 후 노드 기준). * 잠깐, 회로를 다시 보면 스위치 뒤쪽 노드에서 $2\text{k}\Omega$이 병렬, 그리고 $1\text{k}\Omega$(상단) + $1\text{k}\Omega$(우측)가 연결된 구조로 보입니다. * 커패시터 입장에서 본 저항: $2\text{k}\Omega \parallel (1\text{k}\Omega + 1\text{k}\Omega) = 2\text{k}\Omega \parallel 2\text{k}\Omega = 1\text{k}\Omega$. * 따라서 **$R_{eq} = 1\text{k}\Omega = 1000\,\Omega$**. 2. **시상수 및 전압식:** * $\tau = R_{eq} C = 1000\,\Omega \times 1\mu\text{F} = 10^{-3}\text{ sec} = 1\text{ ms}$. * 방전 회로이므로, $v_C(t) = v_C(0)e^{-t/\tau} = 2e^{-1000t}$ (V). 3. **전류 $i_R(t)$ 구하기:** * $i_R$은 우측 맨 끝의 $1\text{k}\Omega$ 저항을 흐르는 전류입니다. * 커패시터 전압 $v_C(t)$가 $1\text{k}\Omega$(상단)와 $1\text{k}\Omega$(우측)의 직렬 회로에 걸립니다. * 따라서 옴의 법칙에 의해: $$i_R(t) = \frac{v_C(t)}{1\text{k}\Omega + 1\text{k}\Omega} = \frac{2e^{-1000t}}{2000} = 1 \times e^{-1000t} \text{ (mA)}$$ $$i_R(t) = 10^{-3} e^{-1000t} \text{ (A)}$$ --- ### **문제 3: 2차 회로 (RLC) 해석** **문제 분석:** * 주어진 값: $R_1=4\Omega, L=1\text{H}, R_2=2\Omega, C=0.5\text{F}$. * 초기값: $i_L(0)=1\text{A}, v_C(0)=1\text{V}$. **a) $v_C(t)$ 계산** 두 노드(인덕터 위쪽 $v_L$, 커패시터 위쪽 $v_C$)에 대해 KCL(키르히호프 전류 법칙)을 적용합니다. 1. **노드 방정식 세우기:** * **노드 1 ($v_L$):** $i_L + \frac{v_L - v_C}{R_1} = 0$. 여기서 $v_L = L \frac{di_L}{dt}$. * **노드 2 ($v_C$):** $\frac{v_L - v_C}{R_1} = C \frac{dv_C}{dt} + \frac{v_C}{R_2}$. 2. **수식 정리 및 미분방정식 유도:** * 값 대입: $R_1=4, R_2=2, C=0.5, L=1$. * (식 1)에서: $i_L = -\frac{v_L - v_C}{4} \Rightarrow 4i_L = v_C - v_L$. 미분하면 $4i_L' = v_C' - v_L'$. ($v_L = i_L'$ 이므로 대입하면 복잡해질 수 있으니 $i_L$을 $v_C$로 표현해 봅니다.) * (식 2) 정리: 노드 1과 2 사이 전류 $i_{R1} = \frac{v_L-v_C}{4}$. 이것이 노드 2로 들어오므로: $\frac{v_L-v_C}{4} = 0.5 v_C' + 0.5 v_C$. * 한편, 노드 1 KCL에 의해 $\frac{v_L-v_C}{4} = -i_L$. * 즉, **$-i_L = 0.5 v_C' + 0.5 v_C$** (중요 식). * 이 식을 미분: $-i_L' = 0.5 v_C'' + 0.5 v_C'$. * 여기서 $v_L = 1 \cdot i_L' = i_L'$ 이므로, $v_L = -(0.5 v_C'' + 0.5 v_C')$. * 다시 식 1 ($v_L - v_C = -4i_L$) 에 대입: $-(0.5 v_C'' + 0.5 v_C') - v_C = -4(-0.5 v_C' - 0.5 v_C)$. $-0.5 v_C'' - 0.5 v_C' - v_C = 2 v_C' + 2 v_C$. 이항하여 정리: $0.5 v_C'' + 2.5 v_C' + 3 v_C = 0$. 양변에 2를 곱함: **$v_C'' + 5 v_C' + 6 v_C = 0$**. 3. **특성 방정식 풀기:** * $s^2 + 5s + 6 = 0 \Rightarrow (s+2)(s+3) = 0$. * 고유근: $s_1 = -2, s_2 = -3$. * 일반해: $v_C(t) = A e^{-2t} + B e^{-3t}$. 4. **상수 A, B 구하기:** * $v_C(0) = 1 \Rightarrow A + B = 1$. * $v_C'(0)$ 구하기: 위에서 유도한 식 $-i_L = 0.5 v_C' + 0.5 v_C$ 이용. $t=0$ 대입: $-1 = 0.5 v_C'(0) + 0.5(1)$. $-1 = 0.5 v_C'(0) + 0.5 \Rightarrow -1.5 = 0.5 v_C'(0) \Rightarrow v_C'(0) = -3$. * 미분식: $v_C'(t) = -2A e^{-2t} - 3B e^{-3t}$. $t=0$ 대입: $-2A - 3B = -3$. * 연립방정식 풀기: $2A + 2B = 2$ $-2A - 3B = -3$ ------------ $-B = -1 \Rightarrow B=1, A=0$. **결과:** $v_C(t) = e^{-3t} \text{ V}$. **b) $i_L(t)$ 계산** * 앞서 유도한 관계식 $i_L(t) = -0.5(v_C'(t) + v_C(t))$을 사용합니다. * $v_C = e^{-3t}, v_C' = -3e^{-3t}$. * $i_L(t) = -0.5(-3e^{-3t} + e^{-3t}) = -0.5(-2e^{-3t}) = e^{-3t}$. * **결과:** $i_L(t) = e^{-3t} \text{ A}$. --- ### **문제 4: 병렬 RLC 회로의 계단 응답** **문제 분석:** * 회로는 $t=0$에 스위치가 닫히면서 우측의 전원부(150V, 300$\Omega$)가 좌측의 RLC 병렬부($200\Omega, 20\text{nF}, 5\text{mH}$)에 연결되는 구조입니다. * **입력원 변환:** 전압원 150V와 직렬저항 300$\Omega$을 노턴 등가회로로 변환하면 해석이 쉽습니다. * 전류원 $I_S = 150\text{V} / 300\Omega = 0.5\text{A}$. * 병렬 저항 $300\Omega$. * **전체 등가 저항 ($R_{total}$):** 회로의 기존 $200\Omega$과 소스의 $300\Omega$이 병렬로 연결됩니다. * $R = 200 \parallel 300 = \frac{200 \times 300}{500} = 120\Omega$. * **회로 파라미터:** $R=120\Omega, L=5\text{mH}, C=20\text{nF}$. **풀이:** 1. **감쇠 정수($\alpha$)와 공진 주파수($\omega_0$) 계산 (병렬 RLC):** * $\alpha = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2 \times 120 \times 20 \times 10^{-9}} = \frac{1}{4.8 \times 10^{-6}} \approx 208,333$. * $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{10^{-5}} = 100,000$. 2. **응답 특성 판단:** * $\alpha > \omega_0$ 이므로 **과도감쇠(Overdamped)** 응답입니다. * 전압 $v_L(t)$의 형태: $v_L(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$. * 특성근: $s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$. 계산 편의를 위해 근사치를 사용하거나 수식 형태로 둡니다. $s_{1,2} \approx (-2.08 \pm 1.83) \times 10^5$. $s_1 \approx -25,000, s_2 \approx -391,000$. 3. **초기 조건 및 최종값:** * $t=0$ 직전 에너지가 없으므로 $v_L(0) = v_C(0) = 0$. * $t=\infty$에서 인덕터는 단락(Short)되므로 전압은 0V로 수렴합니다. (최종값 0) * 초기 변화율 $v_L'(0)$: $t=0$ 순간 커패시터 전류 $i_C = I_S$ (인덕터 전류 0, 저항 전류 0이므로). $C v_L'(0) = I_S \Rightarrow v_L'(0) = \frac{0.5}{20 \times 10^{-9}} = 2.5 \times 10^7 \text{ V/s}$. 4. **계수 $A_1, A_2$ 결정:** * $v_L(0) = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_2 = -A_1$. * $v_L'(0) = s_1 A_1 + s_2 A_2 = A_1(s_1 - s_2) = 2.5 \times 10^7$. * $A_1 = \frac{2.5 \times 10^7}{s_1 - s_2} = \frac{2.5 \times 10^7}{2\sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}}$. **결론 식:** $v_L(t) = A_1 (e^{s_1 t} - e^{s_2 t})$ (V). (여기서 $s_1, s_2$는 위에서 구한 특성근이며, $A_1$은 초기 변화율 조건으로 결정된 상수입니다.)