[기출문제] 충북대 개신캠 미분적분학 2025-1 중간 기출문제 (정답 포함)

문제 1. (화학양론과 한계 반응물) 🧪

암모니아(NH₃)는 산소(O₂)와 반응하여 일산화질소(NO)와 물(H₂O)을 생성합니다.
이 반응은 오스트발트법의 첫 단계입니다.

4NH₃(g) + 5O₂(g) → 4NO(g) + 6H₂O(l)

20.0 g의 암모니아와 30.0 g의 산소를 반응시킬 때, 다음을 계산하시오.
(원자량: H = 1.01, N = 14.01, O = 16.00)

(a) 이 반응의 한계 반응물(limiting reactant)은 무엇인지 계산 과정을 통해 보이시오.
(b) 이론적으로 생성될 수 있는 일산화질소(NO)의 최대 질량(g)은 얼마입니까?
(c) 반응 후 남게 되는 초과 반응물(excess reactant)의 질량(g)은 얼마입니까?

문제 2. (열화학 - 칼로리미터) 🔥

100.0°C로 가열된 50.0 g의 미지 금속 시료를
25.0°C의 물 100.0 g이 들어있는 열량계(calorimeter)에 넣었습니다.
열 평형에 도달했을 때 물과 금속의 최종 온도는 28.5°C였습니다.

(물의 비열 c_water = 4.184 J/g°C 이고,
열량계 자체나 주변으로의 열 손실은 무시한다고 가정합니다.)

(a) 물이 흡수한 열량(q_water)은 몇 J 입니까?
(b) 이 미지 금속의 비열(c_metal)은 몇 J/g°C 입니까?

문제 3. (원자 구조와 빛) ⚛️

수소 원자(H)에서 전자가 n = 4 에너지 준위에서 n = 2 에너지 준위로 전이(transition)할 때
특정 파장의 빛(광자)이 방출됩니다.

(리드베리 상수 R_H = 2.18×10⁻¹⁸ J,
플랑크 상수 h = 6.626×10⁻³⁴ J⋅s,
빛의 속도 c = 3.00×10⁸ m/s)

(a) 이 전이 과정에서 방출되는 광자의 에너지(ΔE)를 J 단위로 계산하시오.
(b) 방출되는 빛의 파장(λ)을 nm 단위로 계산하시오.
(c) 이 파장은 전자기 스펙트럼의 어느 영역에 해당합니까?
(예: 자외선(UV), 가시광선(Visible), 적외선(IR))

문제 1. (화학양론과 한계 반응물)

(a) 한계 반응물: 산소($O_2$)

해설: 주어진 질량을 몰(mol) 수로 변환($NH_3 \approx 1.17 \text{ mol}$, $O_2 = 0.9375 \text{ mol}$)한 뒤, 반응식의 계수(4:5)와 비교합니다.

$NH_3$ 1.17 mol을 모두 반응시키려면 $O_2$가 약 1.46 mol 필요하지만 $O_2$는 0.9375 mol밖에 없으므로, $O_2$가 먼저 소진됩니다.

(b) $NO$의 최대 질량: 약 $22.5 \text{ g}$

해설: 한계 반응물인 $O_2$(0.9375 mol)를 기준으로 생성되는 $NO$의 몰 수를 계산( $0.9375 \times 4/5 = 0.75 \text{ mol}$ )하고, 이를 $NO$의 몰질량(약 30.01 g/mol)을 이용해 질량으로 환산합니다.

(c) 남은 $NH_3$의 질량: 약 $7.2 \text{ g}$

해설: 한계 반응물 $O_2$(0.9375 mol)와 반응한 $NH_3$의 몰 수( $0.9375 \times 4/5 = 0.75 \text{ mol}$ )를 구합니다.

처음 $NH_3$ 몰 수(1.17 mol)에서 반응한 양(0.75 mol)을 뺀 후(남은 양 $\approx$ 0.42 mol), 이를 $NH_3$의 몰질량(약 17.04 g/mol)으로 환산합니다.

문제 2. (열화학 - 칼로리미터)

(a) 물이 흡수한 열량: $1464.4 \text{ J}$ (또는 약 $1.46 \text{ kJ}$)

해설: 열량 공식 q=mcΔT 를 사용합니다.
$q_{water}$ = (100.0 g) × (4.184 J/g∘C) × (28.5∘C−25.0∘C) = 1464.4 J

(b) 금속의 비열: 약 $0.41 \text{ J/g}^\circ\text{C}$

해설: 금속이 잃은 열(−$q_{metal}$)은 물이 얻은 열($q_{water}$)과 같습니다. ($q_{metal}$ = −1464.4 J)
$q_{metal}$ = $m_{metal}$⋅$c_{metal}$⋅Δ$T_{metal}$ 공식을 $c_{metal}$에 대해 정리합니다.
$c_{metal}$ = $q_{metal}$ / ($m_{metal}$⋅Δ$T_{metal}$) = −1464.4 J / (50.0 g × (28.5∘C−100.0∘C))

문제 3. (원자 구조와 빛)

(a) 방출되는 광자 에너지: 약 $4.09 \times 10^{-19} \text{ J}$

해설: 리드베리 식(ΔE = −$R_H$(1/$n_f^2$ − 1/$n_i^2$))을 사용하여 에너지 차이를 계산합니다.
ΔE = −2.18×10−18 J × (1/2² − 1/4²) = −4.0875×10−19 J
방출되는 광자의 에너지는 이 값의 절대값입니다.

(b) 빛의 파장: 약 $486 \text{ nm}$

해설: 에너지-파장 관계식($E = hc/\lambda$)을 파장($\lambda = hc/E$)에 대해 정리한 뒤 (a)에서 구한 에너지를 대입하여 계산합니다.

(c) 스펙트럼 영역: 가시광선(Visible)

해설: 486 nm는 약 400 nm(보라)에서 700 nm(빨강) 사이의 가시광선 영역에 속하며,
특히 청록색(blue-green)에 해당합니다. (발머 계열)문제 1. (화학양론과 한계 반응물)

(a) 한계 반응물: 산소($O_2$)

해설: 주어진 질량을 몰(mol) 수로 변환($NH_3 \approx 1.17 \text{ mol}$, $O_2 = 0.9375 \text{ mol}$)한 뒤, 반응식의 계수(4:5)와 비교합니다.

$NH_3$ 1.17 mol을 모두 반응시키려면 $O_2$가 약 1.46 mol 필요하지만 $O_2$는 0.9375 mol밖에 없으므로, $O_2$가 먼저 소진됩니다.

(b) $NO$의 최대 질량: 약 $22.5 \text{ g}$

해설: 한계 반응물인 $O_2$(0.9375 mol)를 기준으로 생성되는 $NO$의 몰 수를 계산( $0.9375 \times 4/5 = 0.75 \text{ mol}$ )하고, 이를 $NO$의 몰질량(약 30.01 g/mol)을 이용해 질량으로 환산합니다.

(c) 남은 $NH_3$의 질량: 약 $7.2 \text{ g}$

해설: 한계 반응물 $O_2$(0.9375 mol)와 반응한 $NH_3$의 몰 수( $0.9375 \times 4/5 = 0.75 \text{ mol}$ )를 구합니다.

처음 $NH_3$ 몰 수(1.17 mol)에서 반응한 양(0.75 mol)을 뺀 후(남은 양 $\approx$ 0.42 mol), 이를 $NH_3$의 몰질량(약 17.04 g/mol)으로 환산합니다.

문제 2. (열화학 - 칼로리미터)

(a) 물이 흡수한 열량: $1464.4 \text{ J}$ (또는 약 $1.46 \text{ kJ}$)

해설: 열량 공식 q=mcΔT 를 사용합니다.
$q_{water}$ = (100.0 g) × (4.184 J/g∘C) × (28.5∘C−25.0∘C) = 1464.4 J

(b) 금속의 비열: 약 $0.41 \text{ J/g}^\circ\text{C}$

해설: 금속이 잃은 열(−$q_{metal}$)은 물이 얻은 열($q_{water}$)과 같습니다. ($q_{metal}$ = −1464.4 J)
$q_{metal}$ = $m_{metal}$⋅$c_{metal}$⋅Δ$T_{metal}$ 공식을 $c_{metal}$에 대해 정리합니다.
$c_{metal}$ = $q_{metal}$ / ($m_{metal}$⋅Δ$T_{metal}$) = −1464.4 J / (50.0 g × (28.5∘C−100.0∘C))

문제 3. (원자 구조와 빛)

(a) 방출되는 광자 에너지: 약 $4.09 \times 10^{-19} \text{ J}$

해설: 리드베리 식(ΔE = −$R_H$(1/$n_f^2$ − 1/$n_i^2$))을 사용하여 에너지 차이를 계산합니다.
ΔE = −2.18×10−18 J × (1/2² − 1/4²) = −4.0875×10−19 J
방출되는 광자의 에너지는 이 값의 절대값입니다.

(b) 빛의 파장: 약 $486 \text{ nm}$

해설: 에너지-파장 관계식($E = hc/\lambda$)을 파장($\lambda = hc/E$)에 대해 정리한 뒤 (a)에서 구한 에너지를 대입하여 계산합니다.

(c) 스펙트럼 영역: 가시광선(Visible)

해설: 486 nm는 약 400 nm(보라)에서 700 nm(빨강) 사이의 가시광선 영역에 속하며,
특히 청록색(blue-green)에 해당합니다. (발머 계열)