[기출문제] 서강대학교 미분적분학 2020-1 기말 기출문제 (정답 포함)

1. Prove that two curves x^3 + xy + y^3 = 1 and x^4e^y = x - y^2 are tangent to each other at the point (1, 0).

Definition:
We say that two curves are tangent to each other (서로 접힌다) at a point P, if both these curves pass through P and have the same tangent line(접선) at P.

2. Let f(x) = e^x + 2x - 3 = 0. Prove the following:
(1) There is a solution(해) of the equation f(x) = 0 in R.
(2) If two real numbers a and B are solutions of the equation f(x) = 0, then a = B.

3. Use a trigonometric substitution(삼각치환) to evaluate the integral ∫ x^2 / √9-x^2 dx.

4. Find the radius of convergence(수렴반지름) and interval of convergence(수렴구간) of the series: Σ (-1)^(n+1)/n*2^n *(x+2)^n

5. (1) Sketch the curve with the polar equation(극방정식) r = sin(3θ), π/3<θ<2π/3.
(2) Find the area of the region enclosed by the polar equation r= sin(3θ), π/3<θ<2π/3.

6. Let C be a curve in R^3 given by a vector function
r(t) = (cos(t) + t sin(t), sin(t) - t cost, t^2), t>0
Find the unit tangent vector(단위접선벡터) T(t) and the curvature(곡률) K(t) of r where t > 0.

1. 두 곡선은 (1,0)에서 같은 기울기 -3을 갖고, 점도 동일하므로 접한다.

2. (1) 연속성과 중간값 정리에 의해 0과 1 사이에 적어도 하나의 해가 존재한다.
(2) 해는 유일하다.

3. 9/2 arcsin x/3 - 1/2x√9-x^2 +C

4. 반지름 R=2, 중심 -2 이고, 수렴 구간은 (-4,0]이다.

5. (1) 원점에서 시작해 반대 방향으로 하나의 petal 모양
(2) π/12

6. T(t) = 1/√5 (cos t, sin t, 2)
K(t) = 1/5t