경희대 국제캠 미분적분학 2021-2 기말 기출문제 (정답 포함)

경희대 국제캠 미분적분학 2021-2 기말 기출문제 (정답 포함)

1. 시험 정보

2. 출제 범위 & 키워드

출제 범위 & 키워드
경희대 국제캠 미분적분학(Calculus) 기말시험으로, 다중적분(이중·삼중적분), 공간도형의 부피 계산, 기울기·법선벡터, 관련율 문제, 최적화 문제(라그랑주 승수 포함) 등이 출제됨. 영역 적분·곡면 위 적분·원기둥/원뿔·사면체 등의 기하적 해석이 핵심 범위.

📚 키워드
다중적분, 영역적분, 삼중적분, 법선벡터, 관련율(related rates), 최적화, 라그랑주 승수법, 기하적 부피 계산, 원기둥·원뿔·사면체, 미분적분학 II

3. 기출 미리보기

문제: 다음은 사각형 영역 $0\le x\le 2$, $1\le y\le 4$ 위에서 정의된 함수 f(x,y)=x2y+y2f(x,y) = x^2 y + y^2f(x,y)=x2y+y2에 대한 문제이다. 이 함수가 해당 폐구간 영역에서 가질 수 있는 최댓값을 구하여라.     

답: 주어진 함수 f(x,y)=x2y+y2f(x,y) = x^2 y + y^2f(x,y)=x2y+y2는 폐구간 영역 위에서 최댓값을 가져야 하므로, 내부의 임계점과 네 변의 경계를 모두 확인해야 한다. 먼저 편도함수를 계산하면 fx=2xyf_x = 2xyfx​=2xy, fy=x2+2yf_y = x^2 + 2yfy​=x2+2y가 된다. 이를 각각 0으로 두어 내부 임계점을 찾으면 $x=0$ 또는 $y=0$이 되지만, 주어진 영역에서 $y=1$ 이상이므로 내부에는 임계점이 존재하지 않는다.

이제 경계에서의 값을 비교한다. $x=0$일 때는 f=y2f = y^2f=y2이므로 $y=4$에서 값이 16이 된다. $x=2$일 때는 f=4y+y2f = 4y + y^2f=4y+y2가 되어 $y=4$에서 값이 32가 된다. $y=1$에서는 f=x2+1f = x^2 + 1f=x2+1이므로 최댓값은 $x=2$일 때 5이고, $y=4$에서는 f=4x2+16f = 4x^2 + 16f=4x2+16이 되어 $x=2$에서 값이 32가 된다.

네 경계를 모두 비교했을 때 가장 큰 값은 $x=2,y=4$에서의 32이며, 이것이 함수의 최댓값이다.

4. 자료 보기

[기출 문제]