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국민대 미분적분학 2025-1 기말 기출문제 (정답 포함)

피곤한

2025.11.25 14:56

1. 시험 정보

학교/과목	국민대 미분적분학
시험명	2025-1 기말고사
문항수/형식	단답형, 서술형
교수명	-
정답/해설	✅ 있음
파일형식	-

2. 출제 범위 & 키워드

출제 범위 & 키워드
실해석(급수·적분 수렴판정)과 극좌표 면적 계산, 멱급수의 수렴반경·수렴구간 분석을 다루는 문제집합 — 불완전적분(특이점 근방 수렴성), 급수 수렴판정, 멱급수 반지름 및 구간 판정, 그리고 극좌표로 표현된 곡선의 고리(leaf)별 영역 계산을 포함.

📚 키워드
적분 수렴판정(비정적분, 비교판정법), 삼각함수 적분(sec^2 x), 급수 수렴조건(p-급수), 멱급수 수렴반경(Radius of convergence), 거듭제곱급수 수렴구간, 극좌표 넓이(복수 고리), r = a sin(2θ), 면적 적분(1/2 ∫ r^2 dθ)

3. 기출 미리보기

문제:

분모: x의 3/2제곱 분자: secx의 제곱일때 x=0 부터 x=1까지의 정적분 값을 비교 정리 이용하여 수렴하는지, 발산하는지 판정하여라.

답:

cosx가 -1이상 1이하이므로 cosx제곱은 0이상 1이하, (좌변)분모: cosx제곱 곱하기 x의 3/2제곱 분자: 1일때 x=0부터 x=1까지의 정적분 값이 (우변)분모: x의 -3/2제곱 분자: 1일때 x=0부터 x=1까지의 정적분 값 이때 (좌변)>=(우변) 즉, (우변)을 계산하면 무한대로 발산하므로 비교 정리에 의해 문제의 식 또한 발산한다.

4. 자료 보기

[기출 문제]

1. 분모: x의 3/2제곱 분자: secx의 제곱일때 x=0 부터 x=1까지의 정적분 값을 비교 정리 이용하여 수렴하는지, 발산하는지 판정하여라.

답: 발산한다.

2. 다음 색칠한 영역의 넓이를 구하라.

답: 1/8 파이

3. 급수 n 곱하기 (1+n제곱)의 p제곱이 수렴하기 위한 p값을 구하여라. 답: p < -1

4. 분자: (-2)의 n제곱 곱하기 (x+3)의 n제곱, 분모: 루트n이 시그마 n=1부터 무한대까지 일때, 수렴반지름 R과 수렴구간을 구하여라. 답: R=1/2, -7/2<x<=-5/2

5. 곡선 r=3sin2세타의 고리로 둘러싸인 넓이를 모두 구하여라. 답: 각 고리의 넓이: 9/8 파이 전체(4개 고리)읜 넓이: 9/2 파이

[정답]

1. cosx가 -1이상 1이하이므로 cosx제곱은 0이상 1이하, (좌변)분모: cosx제곱 곱하기 x의 3/2제곱 분자: 1일때 x=0부터 x=1까지의 정적분 값이 (우변)분모: x의 -3/2제곱 분자: 1일때 x=0부터 x=1까지의 정적분 값 이때 (좌변)>=(우변) 즉, (우변)을 계산하면 무한대로 발산하므로 비교 정리에 의해 문제의 식 또한 발산한다.

2. 1/2(1+cos제곱 세타)를 세타=파이/3부터 세타=파이까지 정적분한 값 - 1/2(9cos제곱세타)를 세타=파이/3부터 세타=파이/2까지 정적분한 값

3. 적분판정법에의해, n*(1+n제곱)의 p제곱이 1부터 무한대까지일때의 정적분값이 수렴해야 한다. 1+n제곱을 t라 하자: 2ndn= dt, 위의 식을 치환하면 1/2곱하기 t의 p제곱이 2부터 무한대까지일때의 정적분값이 된다. 따라서 p-급수 판정법에 따라, p<-1일때 수렴한다.

4. 근판정법을 이용하면, n이무한대로 갈때 lim n이 무한대로 갈때 분자: 루트n 분모: 루트 n+1 의 값이 1이므로 R=1/2, 급수가 수렴하려면 x+3의 절댓값<1/2 이어야한다. x의 끝점을 대입해보면 x=-7/2일때 발산, x=-5/2일때 수렴하므로 수렴구간은 -7/2<x<=-5/2

5. 각 고리의 넓이 : 1/2 곱하기 (3sin2세타)의 제곱을 세타=0부터 세타=파이/2 까지의 정적분 값이므로 9/8 파이, 전체 넓이: 각 고리의 넓이*4 = 9/2 파이

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