부산대 미분적분학 2023-1 기말 기출문제 (정답 포함)

1번

(1) 급수
x + 4x^2 + 9x^3 + ... = Σ (n^2 * x^n), n=1~∞
의 수렴구간을 구하여라. (7점)

(2) 급수
1 + x + x^2 + ... = Σ x^n, n=0~∞
의 수렴값이 1/(1-x) 임을 이용하여

Σ [n^2 * (1/2)^n], n=1~∞
의 수렴값을 구하여라. (8점)

2번

(1)

외적을 이용하여 두 직선
l1: x = 1 + 2t, y = 3 - t, z = -1 + 3t
l2: x = 2t, y = 4 - t, z = 2 + 3t
을 포함하는 평면의 방정식을 구하고, 점 (1,1,1)에서 그 평면까지의 거리를 구하여라. (4점)

(2)

외적을 이용하여 점 P(0, -1, 2)와
직선 (x - 1)/3 = (1 - y)/4 = (z - 2)/5
사이의 거리를 구하여라. (4점)

3번

(1) 다음 멱급수의 수렴구간을 구하여라. (7점)

Σ (n=0 → ∞) [ (-3)^n * x^n / sqrt(n+1) ]

(2) 맥클로린 급수를 이용하여 다음 극한값을 구하여라. (5점)

lim (x→0) { cos(x^2) - (1 - x^4/2!) } / x^8

4번

(1) 다음 급수의 수렴, 발산을 판정법을 이용하여 판정하여라. (7점)

∑(n=1→∞) 1 / [ n * ( 1 + 2n )^(1/3) ]

(2) ∑(n=2→∞) 1 / [ n * (ln(n))^3 ] (8점)

5번

(1) 곡선
x^(2/3) + y^(2/3) = 4
위의 점 (2√2 , 2√2) 에서 곡률원의 방정식을 구하여라. (8점)

(2) 파선
x = 2t - 2 sin t
y = 2 - 2 cos t
위의 점 (2π , 4) 에서 곡률원의 방정식을 구하여라. (7점)

6번

극방정식 r^2 = cos(2*theta) (0 <= theta <= pi/4)의 그래프를 그리고
theta = pi/2 축 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 넓이를 구하여라.

7번

(1)
극방정식 r = 1 + cos(θ) 의 외부이면서
r = sqrt(3) * sin(θ) 의 내부인 영역을 표시하고 그 부분의 넓이를 구하여라. (8점)

(2)
r = 2 * sin(2θ) 의 내부,
r = 1 의 외부로 둘러싸인 영역을 표시하고 그 넓이를 구하여라. (7점)

8번

(1)
중심이 C(0, a)이고 반지름이 a인 원이 있다.
직선 y = 2a 위의 한 점 A에 대하여 선분 OA와 원이 만나는 점을 B,
그리고 B를 지나는 수평직선과 A를 지나는 수직선이 만나는 점을 P라 할 때
점 P가 그리는 궤적을 x축과 이루는 각 θ로 매개변수 방정식을 표현하여라. (3점)

(2)
(1)에서 구한 곡선의 θ = π/6 일 때 접선의 방정식을 구하여라. (7점)

1-1. -1<x<1

1-2. 6

2-1. S = |6 + 9 - 1-34| / sqrt(36 + 81 + 1) = 20 / sqrt(118)

2-2. 3*sqrt(2)/2

3-1. (1) 수렴구간: -1/3 < x <= 1/3

3-2. 1/24

4-1. 수렴

4-2. 수렴

5-1. y = -x + 4*sqrt(2)

5-2. y = 4

6. pi*sqrt(2)

7-1. π​/3

7-2. 1/2