[기출문제] 연세대 신촌캠 통계학개론(기초통계학) 2025-2 중간 기출문제 (정답 포함)

*1번-8번은 단답형. 9번-11번은 서술형(풀이 있어야 함.)
1. 다음 중 옳은 것은 O, 틀린 것은 X로 나타내시오.
(주의 : 3개 맞으면 5점, 2개 맞으면 3점, 1개 맞으면 1점) [5점] 
(1) 의 값이 최소가 되도록 하는 의 값은 자료 의 평균이다. 
                            정답 : (              ) 
(2) 최빈값, 중앙값, 평균 중에서 특이값의 영향을 가장 많이 받는 것은 최빈값이다.
                            정답 : (              ) 
(3) 두 개의 자료의 상관계수가 1에 가까울수록 산점도로 나타내면 분포하는 모양은 직선에 가까워진다.
                            정답 : (              ) 

3. 다음 중 순서형 자료로 변환가능한 것을 모두 고르시오.[5점] 
(1) 토플점수 (2) 몸무게 (3) 혈액형 (4) 직업 (5) 온도
                            정답 : (              ) 

4. X축과 Y축의 척도에 대한 것이 아니고 실제 그려놓은 그래프의 X축과 Y축의 비율을 뜻하는 것은 무엇인가?[5점] 
                            정답 : (              ) 

5. 시간의 변화에 따라 얻는 연도별 이자율, 월별 평균 온도와 같은 자료를 무슨 자료라 하는가?[5점] 
                            정답 : (              ) 

6. 통계학 입문을 듣는 학생 6명의 토플점수와 통계학점수를 조사하여 다음과 같은 자료를 얻었다.

(1) 상관계수를 구하시오. (6명이 모집단이고 소숫점 다섯째자리에서 반올림하시오. 반올림 제대로 안 하면 1점 감점함.) [3점]   
                            정답 : (              ) 

(2) 통계학점수의 1사분위수를 구하시오.[2점]   
                            정답 : (              ) 

7. 0,0,0,1,1,1,2,2가 적혀 있는 8개의 공이 들어있는 주머니가 있다. 주머니에서 공을 한 개 선택하여 적힌 숫자를 기록하고 공을 다시 주머니에 넣는 시행을 7번 반복한다고 한다. 기록된 숫자의 평균을 구하시오. [7점]
                            정답 : (              ) 

8. 1개의 상품을 가진 어떤 사람이 게임을 하려고  한다. 게임에서 이길 확률이 1/2, 비길 확률이 1/3, 질 확률은 1/6이다. 게임에서 이기면 상품이 하나 더 많아지고 비기면 변동이 없고 지면 상품이 하나 적어진다고 한다. 네 번쨰 게임 후 상품이 3개라고 할 때 두 번째 게임 후 상품이 1개였을 확률을 구하시오. (단, 상품이 0개가 되면 게임을 더 이상 진행하지 않는다고 한다.) [7점]
                            정답 : (              ) 

9번-11번은 서술형(풀이 있어야 함.)
9. 서로 독립인 두 사건 A, B에 대하여 확률변수 를 다음과 같이 정의한다. 두 사건 A, B중에서 하나만 일어날 때 =1, 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 =2, 두 사건 A, B가 모두 일어나지 않을 때 =0. , 일 때 의 분산을 구하시오.  [8점]

10. 별다방 손님의 수는 5분당 평균 1명의 손님이 방문하는 포아송 분포를 따른다고 한다 11시 개점후 첫 번째 손님이 11시 10분 이내 방문하고 두 번 째 손님이 11시 30분 이후 방문할  확률을 구하시오. [8점]

11. 좌표평면의 축 위 (3,0)에 점 P가 있다. 크기가 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 큰 주사위의 눈이 작은 주사위의 눈보다 크면 축의 양의 방향으로 4만큼, 그렇지 않으면 음의 방향으로 2만큼 이동시킨다. 이 시행을 번 반복했을 때 점 P의 좌표를 확률변수 라 할 때 일 때 을 구하시오. [10점]

*1번-8번은 단답형. 9번-11번은 서술형(풀이 있어야 함.)
1. 다음 중 옳은 것은 O, 틀린 것은 X로 나타내시오.
(주의 : 3개 맞으면 5점, 2개 맞으면 3점, 1개 맞으면 1점) [5점] 
(1) 의 값이 최소가 되도록 하는 의 값은 자료 의 평균이다. 
                            정답 : (      0       ) 
(2) 최빈값, 중앙값, 평균 중에서 특이값의 영향을 가장 많이 받는 것은 최빈값이다.
                            정답 : (      X       ) 
(3) 두 개의 자료의 상관계수가 1에 가까울수록 산점도로 나타내면 분포하는 모양은 직선에 가까워진다.
                            정답 : (      0       ) 

3. 다음 중 순서형 자료로 변환가능한 것을 모두 고르시오.[5점] 
(1) 토플점수 (2) 몸무게 (3) 혈액형 (4) 직업 (5) 온도
                            정답 : (     1,2,5     ) 

4. X축과 Y축의 척도에 대한 것이 아니고 실제 그려놓은 그래프의 X축과 Y축의 비율을 뜻하는 것은 무엇인가?[5점] 
                            정답 : (    종횡비    ) 

5. 시간의 변화에 따라 얻는 연도별 이자율, 월별 평균 온도와 같은 자료를 무슨 자료라 하는가?[5점] 
                            정답 : (  시계열자료  ) 

6. 통계학 입문을 듣는 학생 6명의 토플점수와 통계학점수를 조사하여 다음과 같은 자료를 얻었다.

(1) 상관계수를 구하시오. (6명이 모집단이고 소숫점 다섯째자리에서 반올림하시오. 반올림 제대로 안 하면 1점 감점함.) [3점]   
                            정답 : (    0.8304    ) 

(2) 통계학점수의 1사분위수를 구하시오.[2점]   
                            정답 : (     76.25    ) 

7. 0,0,0,1,1,1,2,2가 적혀 있는 8개의 공이 들어있는 주머니가 있다. 주머니에서 공을 한 개 선택하여 적힌 숫자를 기록하고 공을 다시 주머니에 넣는 시행을 7번 반복한다고 한다. 기록된 숫자의 평균을 구하시오. [7점]
                            정답 : (     7/8     ) 
풀이)번째 시행에서 나오는 숫자를 확률변수 라 하자. 

0
1
2
계

3/8
3/8
2/8
1

이므로 

8. 1개의 상품을 가진 어떤 사람이 게임을 하려고  한다. 게임에서 이길 확률이 1/2, 비길 확률이 1/3, 질 확률은 1/6이다. 게임에서 이기면 상품이 하나 더 많아지고 비기면 변동이 없고 지면 상품이 하나 적어진다고 한다. 네 번쨰 게임 후 상품이 3개라고 할 때 두 번째 게임 후 상품이 1개였을 확률을 구하시오. (단, 상품이 0개가 되면 게임을 더 이상 진행하지 않는다고 한다.) [7점]
                            정답 : (       7/33   ) 

풀이) 승리 2번, 무승부가 2번, 승리 3번, 패배가 1번이어야 하므로 네 번쨰 게임 후 상품이 3개일 확률은 이고 두 번째 게임 후 상품이 1개이고 네 번쨰 게임 후 상품이 3개인 경우는 무무승승, 승패승승이므로 확률은 이므로 7/33이다.

9번-11번은 서술형(풀이 있어야 함.)
9. 서로 독립인 두 사건 A, B에 대하여 확률변수 를 다음과 같이 정의한다. 두 사건 A, B중에서 하나만 일어날 때 =1, 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 =2, 두 사건 A, B가 모두 일어나지 않을 때 =0. , 일 때 의 분산을 구하시오.  [8점]

A, B는 서로 독립이고
P(A)=p, P(B)=q 라고 하면

확률변수 X는
X=0 : (1−p)(1−q)
X=1 : p(1−q)+(1−p)q
X=2 : pq

기댓값
E(X)=1·[p(1−q)+(1−p)q]+2·pq
= p+q

제곱의 기댓값
E(X^2)=1^2·[p(1−q)+(1−p)q]+2^2·pq
= p+q+2pq

분산
Var(X)=E(X^2)−{E(X)}^2
= p+q+2pq−(p+q)^2

10. 별다방 손님의 수는 5분당 평균 1명의 손님이 방문하는 포아송 분포를 따른다고 한다 11시 개점후 첫 번째 손님이 11시 10분 이내 방문하고 두 번 째 손님이 11시 30분 이후 방문할  확률을 구하시오. [8점]

5분당 평균 1명 → 분당 평균 도착률
λ = 1/5

포아송 과정에서
첫 번째 도착시간 T₁ ~ 지수분포(λ)
두 번째 도착시간 T₂ ~ 감마분포(k=2, λ)

구하려는 확률
P(T₁ ≤ 10 AND T₂ > 30)

포아송 과정 성질을 이용하면
이는
P(10분 이내 손님 ≥ 1명) × P(20분 동안 추가 손님 0명)

10분 동안 평균 도착수
λ·10 = 2

20분 동안 평균 도착수
λ·20 = 4

따라서

P(T₁ ≤ 10) = 1 − e^(−2)

P(추가 손님 0명) = e^(−4)

최종 확률
= (1 − e^(−2)) · e^(−4)
= e^(−4) − e^(−6)

11. 좌표평면의 축 위 (3,0)에 점 P가 있다. 크기가 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 큰 주사위의 눈이 작은 주사위의 눈보다 크면 축의 양의 방향으로 4만큼, 그렇지 않으면 음의 방향으로 2만큼 이동시킨다. 이 시행을 번 반복했을 때 점 P의 좌표를 확률변수 라 할 때 일 때 을 구하시오. [10점]

큰 주사위 눈 > 작은 주사위 눈일 확률

서로 다른 두 주사위 → 전체 경우 36
큰 눈이 더 큰 경우 15

따라서
p = 15/36 = 5/12

이동량 확률변수 Y를 한 번의 시행에 대해 정의하면
Y = 4 (확률 5/12)
Y = −2 (확률 7/12)

기댓값
E(Y) = 4·(5/12) + (−2)·(7/12)
= (20 − 14)/12
= 1/2

분산
E(Y^2) = 16·(5/12) + 4·(7/12)
= (80 + 28)/12
= 9

Var(Y) = 9 − (1/2)^2
= 35/4

초기 위치 P = 3
n번 반복 후 위치를 확률변수 X라 하면

X = 3 + Y₁ + Y₂ + … + Yₙ

기댓값
E(X) = 3 + n·(1/2)

분산
Var(X) = n·(35/4)