[기출문제] 인하대 미분적분학 2025-1 중간 기출문제 (정답 포함)

인하대 미분적분학 2025-1 중간 기출문제 (정답 포함)

 

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	인하대/미분적분학
시험명	2025-1 중간
교수명	김경선교수님
문항수/형식	풀이형 6문제 / 서술형 5문제
정답/해설	✅ 있음
파일형식	pdf

 

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

 

다변수 미적분 (극좌표, 방향미분, 접평면, 이중적분, 선적분, 최적화, 편미분, 라그랑주/극값, 좌표변환 및 벡터해석)

 

 

📚 키워드

 

 

 

 

 

3. 기출 미리보기

 

 

1번. 평면에서극좌표로 r= 1−cos θ (0 ≤θ≤2π) 로 주어진곡선의길이를 구하시오.2번. 함수f(x,y) = x2 + y2 값을구하시오.

 

 

 

4. 자료 보기

 

 

[기출 문제] 

 

1번. 평면에서극좌표로 r= 1−cos θ (0 ≤θ≤2π) 로 주어진곡선의길이를 구하시오.2번. 함수f(x,y) = x2 + y2 값을구하시오. −2x−4y 는 점(3,a) 에서i + j 방향으로 움직였을때 가장빨리 증가한다. a 의 3번. 곡면 z= x−2y+ ln x2 + y2 + 3 arctan y x 위의점P(1,0,1) 에서접평면의방정식을구하시오. 4번. 일차근사를 이용하여 다음값의근삿값을구하시오. (3.012)2 + (3.997)2 5번. 다음적분을구하시오. 1 0 1 √x ey2 y dy dx 6번. D 가평면에서y= 0, y= x2, x= 1 로 둘러싸인영역일때, 다음이중적분의값을구하시오. xcos y dA D ⋆ 서술형: 7번 - 11번 (문제당 10점,답만 쓴 경우에는 0점. 풀이과정부분점수있음) 7번. 곡선C 가다음과같이주어졌을때, 선적분 C(x+ y) ds 를 구하시오. C(t) = (5 cos2 t,3 sin tcos t,2 sin 2t), 0 ≤t≤2π 8번. 다음과같이주어진함수f 에 대해 점(0,0) 에서u−방향 미분계수를 구하시오. f(x,y) = xy3 −2x2y x2+y2 , (x,y) ̸= (0,0) 0, (x,y) = (0,0) u = √3 2 , 9번. f 가R2 에서C2 함수이고, z= f(x,y), x= rcos θ, y= rsin θ 일때 다음을보이시오. ∂2z ∂x2 + ∂2z ∂y2 ∂2z ∂r2 + 1 r2 ∂2z ∂θ2 + 1 ∂z 10번. 함수f(x,y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 의안장점을모두 구하시오. 11번. x2 + y2 ≤16 일때 함수f(x,y) = 2x2 + 3y2 −4x−5 의최댓값과최솟값을구하시오.

 

 

[정답]

 

1 번 정답. 8 2 번 정답. 4 3 번 정답. 2x+ y−z= 1 4 번 정답. 5.0048 5 번 정답. e−1 2 6 번 정답. 1 2 (1−cos 1) 7 번 풀이: C(t) = 5 1 + cos 2t 2 , 3 2 sin 2t,2 sin 2t 이므로 C′(t) = (−5 sin 2t,3 cos 2t,4 cos 2t) 이다. 따라서∥C′(t)∥= 5 이다. 그러므로 선적분은다음과같다. C (x+ y)ds= 2π 0 5 5 3 2 + cos 2t+ 2 2 sin 2t 5 dt = 25π 8 번 풀이: 이다. f( √3 2 t, t 2 ) = √3 16 t2 − Duf(0,0) = d dt 0 f((0,0) + tu) = d dt 0 f √3 2 t, t 2 3 4 t 이므로 d dtf( √3 2 t, t 2 ) = √3 8 t− 3 4 이다. 따라서다음을얻는다. 3 Duf(0,0) =− 4 이다. 9 번 풀이: ∂x ∂r = cos θ, ∂x ∂θ =−rsin θ, ∂y ∂r = sin θ, ∂y ∂θ = rcos θ 이다. 또한 f 가C2 이므로 ∂2z ∂x∂y= ∂z ∂r= ∂z ∂θ= ∂z ∂x ∂r + ∂x ∂θ + ∂z ∂y ∂r= ∂y ∂θ= ∂z ∂z ∂xcos θ+ ∂ysin θ ∂z ∂x(−rsin θ) + ∂z ∂y(rcos θ) ∂2x ∂y∂x 이다. ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y 이므로 다음을얻는다. ∂2z ∂r2 ∂ = ∂r ∂z ∂x cos θ+ ∂ ∂r ∂z ∂y sin θ = ∂2z ∂2z ∂x2 cos θ+ ∂y∂xsin θ cos θ+ ∂2z ∂x∂ycos θ+ ∂2z = ∂x2 cos2 θ+ 2 ∂2z ∂2z ∂x∂ycos θsin θ+ ∂y2 sin2 θ 비슷한 방법으로 다음을얻는다. ∂2z ∂y2 sin θ sin θ ∂2z = ∂θ2 = 따라서다음을얻는다. ∂ ∂θ ∂z ∂x (−rsin θ) + ∂z ∂x(−rcos θ) + ∂ ∂θ ∂z ∂y (rcos θ) + ∂z ∂y(−rsin θ) ∂2z ∂x2 (r2 sin2 θ)−2 ∂2z ∂x∂y(r2 sin θcos θ) + ∂2z ∂z ∂y2 (r2 cos2 θ)− ∂x(rcos θ)− ∂z ∂y(−rsin θ) ∂2z ∂r2 + 1 r2 ∂2z ∂θ2 + 1 r ∂z ∂r= = ∂2z ∂x2 (cos2 θ+ sin2 θ) + ∂2z ∂y2 (cos2 θ+ sin2 θ) ∂2z ∂2z ∂x2 + ∂y2 10 번 풀이: ∇f = (fx,fy) = (6x2 + y2 + 10x,2xy+ 2y) = (0,0) 으로 부터 점(0,0), (− 5 3 ,0), (−1,2), (−1,−2)를 얻는다. 한편 헤세행렬은다음과같다. Hf(x,y) = 12x+ 10 2y 2y 2x+ 2 이때 Hf(0,0) = 10 0 0 2 ,Hf(− 5 3 ,0) = −10 0 0−4/3 ,Hf(−1,2) = −2 4 4 0 ,Hf(−1,−2) = −2−4 −4 0 이고Hf(−1,2)와Hf(−1,−2) 의행렬식만 음수이므로 안장점은(−1,2)과(−1,−2) 이다. 11 번 풀이: 이다. f 가x2 + y2 ≤16 을만족하는 점(x,y)에서최댓값또는 최솟값을가지면 x2 + y2 <16 이거나 x2 + y2 = 16 먼저 x2 + y2 < 16 이면 (x,y) 는 f 의 임계점이므로 ∇f(x,y) = (4x−4,6y) = (0,0) 이다. 그러므로 (x,y) = (1,0) 이고f(1,0) =−7 이다. 한편 x2 + y2 = 16 이면 (2x,2y) ̸= (0,0) 이므로 라그랑주승수법에 의하여 (4x−4,6y) = λ(2x,2y) 를 만족하는 실수λ 가존재한다. 즉 4x−4 = 2λx, 6y= 2λy 두 번째식에 의해 λ = 3 이거나 y = 0 이다. λ = 3 이면 x =−2 이므로 y2 = 12 이고이때 함숫값은47 이다. y= 0 이면 x= ±4 이고f(4,0) = 11, f(−4,0) = 43 이다. 따라서최댓값은47이고, 최솟값은−7 이다