[기출문제] 숭실대학교 미분적분학 2020-1 중간 기출문제 (정답 포함)

(1) A={x∈R∣4≤x^2 +5} 의 상한(supremum)과 하한(infimum)을 구하여라.

(2) B={ x in Q | 4 ≤ x^2 + 5 } 의 상한과 하한을 구하시오.

(3) lim_{x→0} x sin(1/x^4) = 0 임을 증명하시오.

(4) f(x)= { cosh(6x) (x≤0); (1/5)x sin(6x) (x≥0) } 이 x=0에서 연속이 되도록 f(0)의 값을 정하시오.

(5) f(x)= { cosh(6x) (x≤0); (1/5)x sin(6x) (x≥0) } 이 x=0에서 연속이 되도록 f(0)의 값을 정하시오.

(6) 방정식 x^6 + x - 4 = 0 은 0과 1 사이에 적어도 하나의 해를 가짐을 보여라.

(7) 타원 x^2 - 5 x y + 7 y^2 = 45 에서 dy/dx = 0 이 되는 모든 점을 구하시오.

(8) φ(x)=x^6 + 5x - 5 가 전단사함수임을 보이고 역함수의 미분계수 (φ^{-1})'(4) 를 계산하시오.

(1)
1. 4 ≤ x^2 + 5 이므로 4-5 ≤ x^2, 즉 -1 ≤ x^2.
2. 모든 실수 x에 대해 x^2 ≥ 0 이므로 -1 ≤ x^2 는 항상 성립한다.
3. 따라서 조건을 만족하는 모든 실수 x가 포함되어 A = R 이다.
4. R은 위/아래로 유계가 아니므로 sup A = +∞, inf A = -∞.

답: sup A = +∞, inf A = -∞. (또는 A는 위/아래로 유계가 아니다.)

(2)
1. 4 ≤ x^2 + 5 이므로 4-5 ≤ x^2, 즉 -1 ≤ x^2.
2. 모든 유리수 x에 대해 x^2 ≥ 0 이므로 -1 ≤ x^2 는 항상 성립한다.
3. 따라서 조건을 만족하는 모든 유리수 x가 포함되어 B = Q 이다.
4. Q는 위/아래로 유계가 아니므로 sup B = +∞, inf B = -∞.

답: sup B = +∞, inf B = -∞. (또는 B는 위/아래로 유계가 아니다.)

(3)
1. -1 ≤ sin(1/x^4) ≤ 1 이므로 -|x| ≤ x sin(1/x^4) ≤ |x|.
2. 따라서 |x sin(1/x^4)| ≤ |x|.
3. lim_{x→0} |x| = 0 이므로 끼워넣기 정리로 lim_{x→0} x sin(1/x^4) = 0 이다.

답: 0

(4)
1. 좌극한: lim_{x→0^-} cosh(6x)=cosh(0)=1.
2. 우극한: lim_{x→0^+} (1/5)x sin(6x)=0 (|...| ≤ (1/5)|x| → 0).
3. 좌극한 ≠ 우극한 (1 ≠ 0) 이므로 어떤 값으로도 연속으로 만들 수 없다.

답: 불가능 — f(0)에 어떤 값을 정하더라도 x=0에서 연속이 될 수 없다.

(5)
1. f(x)=x^6 + x - 4 는 다항함수이므로 연속이다.
2. f(0) = -4, f(1) = -2 이므로 f(0)·f(1) > 0 이다.
3. 따라서 중간값정리로는 0과 1 사이에 근이 존재한다고 결론내릴 수 없다.
4. (참고) f(1) = -2, f(2) = 62 이므로 1과 2 사이에는 근이 존재한다.

결론: 0과 1 사이에 근이 있음을 증명할 수 없다. 

(6)
1. 암시적 미분: 2x -5(y + x y') +14 y y' =0.
2. 정리: y' = (5y - 2x) / (14y - 5x).
3. y' = 0 이려면 5y - 2x = 0 → y = (2/5)x.
4. 대입하면 (3/25)x^2 = 45 → x^2 = 375 → x = ±5√15.
5. y = (2/5)x 이므로 y = ±2√15.

답: (5√15, 2√15), (−5√15, −2√15).

(7)
1. φ'(x)=6x^5+5 이다. φ'(x) 는 부호변화가 가능하므로 전구간에서 단조증가라고 단정하기 어렵다. 또한 x^6 항 때문에 양쪽 극한이 +∞로 같아 전사 여부도 자명하지 않다. (따라서 문제 원문에 표현상의 모호성 또는 오기가 있을 수 있음.)
2. 역함수가 존재하는(단사인) 구간에서, 역함수의 도함수는 (φ^{-1})'(a)=1/φ'(φ^{-1}(a)) 임.
3. 따라서 (φ^{-1})'(4)= 1 / (6α^5 + 5), 여기서 α 는 φ(α)=4 (즉 α^6 + 5α - 9 = 0) 인 점이다.
4. α는 닫형식으로 표현하기 어려우므로 수치적으로 구한 뒤 대입해 계산한다.

답: (φ^{-1})'(4) = 1 / (6α^5 + 5) (단, α 는 φ(α)=4 인 실수).