한국외국어대학교 글로벌캠퍼스 미분적분학 2024-1 기말 기출문제 (정답 포함)
1. 시험 정보
| 학교/과목 |
한국외국어대학교 글로벌캠퍼스 미분적분학 |
| 시험명 |
2024-1 기말고사 |
| 문항수/형식 |
서술형 4개 |
| 교수명 |
김혁 교수님 |
| 정답/해설 |
✅ 있음 |
| 파일형식 |
JPEG |
2. 출제 범위 & 키워드
미분적분학(미분·적분 종합) 기출로, 암시적 미분/로그미분(지수·거듭제곱 형태), 함수의 증감·그래프 스케치(증감표), 지수형 극한, 치환을 활용한 부정적분을 종합적으로 평가함.
📚 키워드
암시적 미분, 로그미분, 증감표(도함수 부호), 유리함수 그래프, 극한(지수·로그 변환), 치환적분, 삼각치환/치환,적분 기법(치환·부분적분)
3. 기출 미리보기
1. y’ 을 구하여라. (각 10점)
(1) ∛(x + y) = x⁴ + y⁴
4. 자료 보기
[기출문제]
|
1. y’ 을 구하여라. (각 10점)
(1) ∛(x + y) = x⁴ + y⁴
(2) y = x^(x²)
(3) x^y = y^x
2. 함수 f(x) = 2 / (x² − 1) 에 대해 증감표를 이용하여 함수의 그래프를 그려라. (10점)
3. lim x^(2x) 구하여라. (10점)
x→0⁺
4. 다음 부정적분을 구하여라. (각 10점)
(1) ∫ [ ln x / { x (ln x + 1)² } ] dx
(2) ∫ sin(ln x) dx
(3) ∫ [ sin 2x / (1 + cos²x) ] dx
*문제는 뒤에 사진에 첨부되어 있습니다.
|
[정답]
|
1.(1)
1/3 · (x + y)^(-2/3) · (1 + y') = 4x³ + 4y³·y'
(4y³ − 1 / {3(x + y)^(2/3)}) · y' = −4x³ + 1 / {3(x + y)^(2/3)}
∴ y' = { −4x³ + 1 / [3(x + y)^(2/3)] } / { 4y³ − 1 / [3(x + y)^(2/3)] }
1.(2)
ln y = x² ln x
(1 / y) · y' = 2x ln x + x
∴ y' = y (2x ln x + x)
1.(3)
y ln x = x ln y
y' ln x + y/x = ln y + (x / y) · y'
(ln x − x / y) · y' = ln y − y / x
∴ y' = (ln y − y / x) / (ln x − x / y)
2. f(x) = 2 / [(x − 1)(x + 1)]
= 1 / (x − 1) − 1 / (x + 1)
f’(x) = −1 / (x − 1)² + 1 / (x + 1)²
= {(x − 1)² − (x + 1)²} / {(x − 1)² (x + 1)²}
= −4x / {(x − 1)² (x + 1)²}
f’’(x) = 2 / (x − 1)³ − 2 / (x + 1)³
= {2(x + 1)³ − 2(x − 1)³} / {(x − 1)³ (x + 1)³}
3. y = x^(2x)
ln y = 2x ln x
lim ln y = 2 lim x ln x
x→0⁺ x→0⁺
= 2 lim (ln x) / (1/x) ( ∞/∞ 꼴 )
x→0⁺
= 2 lim (1/x) / (−1/x²)
x→0⁺
= 2 lim (−x) = 0
x→0⁺
∴ lim ln y = 0 이므로
x→0⁺
lim y = 1
x→0⁺
4.(1)
ln x + 1 = t, (1/x) dx = dt
= ∫ (t − 1) / t² dt
= ∫ (1/t − 1/t²) dt
= ln|t| + 1/t + C
= ln(ln x + 1) + 1/(ln x + 1) + C
4.(2)
ln x = t → eᵗ = x → dx = eᵗ dt
∫ sin(ln x) dx
= ∫ sin t · eᵗ dt
= 1/2 · eᵗ (sin t − cos t) + C
= 1/2 · x { sin(ln x) − cos(ln x) } + C
4.(3)
1 + cos²x = t
−2 sin x cos x dx = dt
∴ − sin 2x dx = dt
∫ sin 2x / (1 + cos²x) dx
= − ∫ 1/t dt
= − ln|t| + C
= − ln(1 + cos²x) + C
|
