[기출문제] 상명대 서울캠 미분적분학 2020-2 중간 기출문제 (정답 포함)

상명대 서울캠 미분적분학 2020-2 중간 기출문제 (정답 포함)

 

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	상명대 서울캠/미분적분학
시험명	2020-2 중간
교수명	-
문항수/형식	서술형 1문제
정답/해설	✅ 있음
파일형식	-

 

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

 

열역학의 기본 열역학 퍼텐셜 $U,H,A,G$의 전미분과 **완전미분방정식 조건(혼합편미분 교환법칙)**을 이용한 Maxwell 관계식 유도 문제

 

 

📚 키워드

 

 

열역학 퍼텐셜, 전미분, 자연변수, 완전미분조건, 혼합편미분 교환, Maxwell 방정식

 

3. 기출 미리보기

 

 

1. 완전미분방정식 정의를 활용하여, 다음의 Maxwell 방정식 네 가지를 자세히 유도하라

 

 

 

 

4. 자료 보기

 

[기출 문제] 

 

 

1. 완전미분방정식 정의를 활용하여, 다음의 Maxwell 방정식 네 가지를 자세히 유도하라

 

 

[정답] 

 

① Gibiss 식 정리과정 U = Q – W ……(ㄱ) (닫힌계에서 열역학 1법칙) H ≡ U + PV ……(ㄴ) A ≡ U – TS ……(ㄷ) G ≡ H – TS ……(ㄹ) (여기에서, U는 internal energy, H는 enthalpy, A는 Helmholtz energy, G는 Gibbs energy) 이들 식을 완전미분성질을 이용해 Maxwell 관계식으로 나타내기 위해서는 네 개의 Gibiss 식으로부터 얻어진다. (4개의 Gibiss 식을 유도하는 과정은 공학수학보다는 열역학에 관한 기본 개념에 더욱 초점을 두어서, 여기서는 간략한 설명만을 덧붙인다.) 먼저 (ㄱ)식의 경우 엔트로피의 정의에 의해   dS = (δQ/T)_{int rev} → δQ_{int rev} = T dS   δW_{int rev, out} = P dV   ∴ dU = T dS – P dV (ㄴ)식의 경우 제 2 T dS 방정식은 엔탈피의 정의 (H = U + P V)를 사용해   H = U + P V → dH = dU + P dV + V dP   dU = T dS – P dV → T dS = dU + P dV                      T dS = dH – V dP → dH = T dS + V dP 나머지 (ㄷ)과 (ㄹ)의 Gibiss 관계식을 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. ⅰ. A = U – TS → dA = dU – T dS – S dT   dU = T dS – P dV→T dS =dU+P dV dA =– S dT– P dV ⅱ. G = H – TS → dG = dH – T dS – S dT T dS= dH-V dP→dH= T dS+V dP    dG = –S dT + V dP ② 완전미분을 통한 식 유도 4개의 Gibiss 식을 다음과 같이 정리한 것은 완전 미분을 이용해 쉽게 우리가 원하는 결과를 유도하기 위한 과정이다. 완전 미분은 전미분의 개념을 이용할 수 있고, 과정은 다음과 같다. (편미분의 정의를 이용한 전미분의 기본적인 관계식)   dz = (∂z/∂x)_y dx + (∂z/∂y)_x dy 여기서 M ≡ (∂z/∂x)_y , N ≡ (∂z/∂y)_x 로 바꾸면 dz = Mdx + Ndy 라는 식이 얻어진다. 이제 M을 y에 대해 미분하고, 그리고 N을 x에 대해 각각 편미분을 취하면 다음과 같다.   ∂M/∂y = ∂/∂y (∂z/∂x)_y = ∂²z/∂y∂x   ∂N/∂x = ∂/∂x (∂z/∂y)_x = ∂²z/∂x∂y 이를 정리한다면 dz = Mdx + Ndy, (∂M/∂y = ∂N/∂x) 라는 형태로 정리할 수 있다. 다음으로 우리가 사용할 것은 상미분방정식은 우리는 완전미분방정식이라고 한다. 과정을 살펴보면 결국 앞서 정리한 ①의 네 가지 식이 완전 미분방정식과 비슷한 형태를 갖는 것을 알 수 있다. 이를 이용해 우리는 원하는 Maxwell 관계식을 유도할 수 있다. i ) U = Q – W → dU = T dS – P dV   dU = U(S, V) = (∂U/∂S)_V dS + (∂U/∂V)_S dV   (∂U/∂S)_V = T , (∂U/∂V)_S = –P   ∂/∂V (∂U/∂S)_V = ∂T/∂V_S   ∂/∂S (∂U/∂V)_S = – ∂P/∂S_V   ∴ ∂T/∂V_S = – (∂P/∂S)_V ii ) H = U + P V → dH = T dS + V dP   dH = H(S, P) = (∂H/∂S)_P dS + (∂H/∂P)_S dP   (∂H/∂S)_P = T , (∂H/∂P)_S = V   ∂/∂P (∂H/∂S)_P = ∂T/∂P_S   ∂/∂S (∂H/∂P)_S = ∂V/∂S_P   ∴ ∂T/∂P_S = (∂V/∂S)_P iii ) A = U – T S → dA = –S dT – P dV   dA = A(T, V) = (∂A/∂T)_V dT + (∂A/∂V)_T dV   (∂A/∂T)_V = –S , (∂A/∂V)_T = –P   ∂/∂V (∂A/∂T)_V = ∂/∂V (–S)_T = – ∂S/∂V_T   ∂/∂T (∂A/∂V)_T = ∂/∂T (–P)_V = – ∂P/∂T_V   ∴ – ∂S/∂V_T = – (∂P/∂T)_V    ∴ (∂S/∂V)_T = (∂P/∂T)_V iv ) G = H – T S → dG = –S dT + V dP   dG = G(T, P) = (∂G/∂T)_P dT + (∂G/∂P)_T dP   (∂G/∂T)_P = –S , (∂G/∂P)_T = V   ∂/∂P (∂G/∂T)_P = ∂/∂P (–S)_T = – ∂S/∂P_T   ∂/∂T (∂G/∂P)_T = ∂/∂T (V)_P = ∂V/∂T_P   ∴ – ∂S/∂P_T = (∂V/∂T)_P