미분적분학

[기출문제] 홍익대 미분적분학 2024-2 기말 기출문제 (정답 포함)

라릴랄러

2026.01.27 08:10

홍익대 미분적분학 2024-2 기말 기출문제 (정답 포함)

1. 시험 정보

학교/과목	홍익대/미분적분학
시험명	2024-2 기말
교수명	-
문항수/형식	풀이형 8문제
정답/해설	✅ 있음
파일형식	pdf

2. 출제 범위 & 키워드

다변수 미적분(미적분학Ⅲ) 전반을 다루는 기출로, 좌표변환·편미분·중적분·선형근사·좌표계 변환을 통한 계산 및 해석 능력을 종합적으로 평가

📚 키워드

이차곡선 회전(좌표축 회전), 암묵적 미분(dz/dx, dz/dy), 연쇄법칙, 중적분 영역 설정, 입체 부피 적분, 직교·원기둥·구좌표계, 선형근사·전미분, 극좌표 적분, 변수변환(야코비안), 적분 영역 변환

3. 기출 미리보기

1. 좌표축을 회전하여 xy항이 사라지도록 theta 값을 정하고, 표준형으로 고치시오 (10점)

4. 자료 보기

[기출 문제]

1. 좌표축을 회전하여 xy항이 사라지도록 theta 값을 정하고, 표준형으로 고치시오 (10점)

3x^2 + 2xy +3y^2 = 19

2. 곡면의 식이
z^3 -xyz^2 -4x = 0
로 주어졌다.
(1) (1,1,2)에서
dz/dx, dz/dy
을 구하라.
(2) 만약 입자가 xy 평면에서
x(theta) = 1 + cos(theta), y(theta) = sin(theta)
을 따라 움직인다고 할 때 (1,1)에서 dz/d(theta)를 구하시오(10점)

3. z = x^2 + y^2 과 z = 4 로 둘러싸인 입체의 부피를 다음 세가지 순서로 적분 영역을 써보시오(계산할 필요 없음)
dzdydx, dydxdz, dxdydz (각 5점)

4. 구 p=2를 평면 z=1 로 잘라낸 영역(윗부분)의 부피를 구하는 식을 (a) 직교좌표, (b) 원기둥 좌표, (c) 구좌표를 이용해서 써보시오 (각 5점)

5.
(4.2)^(1/2) + (26.7)^(1/3) + (256.4)^(1/4)
의 근삿값을 선형근사식을 이용해서 구하려고 한다(20점)
(1) 어떤 함수를 이용하면 좋을지 생각하시오
(2) 어떤 점에서 함수값을 이용해야 할까 그리고 이 점에서의 함수값은 얼마인가?
(3) 이 경우 delta x, delta y, delta z 는 각각 얼마인가?
(4) 근사값을 구하시오(분수로 표현해도 괜찮음)

6. (1,2)에서
f(x,v) = (route)(1 + 4x^2 + y^2)
의 선형 근사식을 구하고 이것을 이용해서 f(1.1, 2.05)의 근삿값을 구하려고 한다.
(1) 선형근사식을 구하시오(분수로 그냥 놓아두어도 무관함)
(2) f(1.1, 2.05)의 근삿값을 구하시오(10점)

7. 다음 적분에서 영역을 스케치 하고, 극좌표로 바꾸어 구하시오.
I = integral(-2,0) integral(0, route(4-x^2)) (x^2 + y^2) dydx + integral(0, route(2)) integral(x, route(4-x^2))
(x^2 + y^2) dydx

8. 다음 적분을 변수변환을 통해서 수행하려고 한다.
integral integral R (x-y)dydx,
영역 R은 다음과 같다. (Fig)

(1) 위의 네 점을 통과하는 직선들을 구하고 (2) 변수변환을 어떻게 할지 판단하시오.
(3) 변수변환에 의해서 영역 R은 어떻게 변하는가?
(4) 적분을 구하시오.
x-y=-1, x-y=1, x-3y=-5, and x-3y=-9

[정답]

1. u^2 / (19/4) + v^2 / (19/2) = 1

2.
(1) dz / dx = -(-8)/8 = 1, dz / dy = -(-4)/8 = 1/2
(2) -1

3.
(1) dz dy dx 순서 Integral 범위 -2 부터 2 [ Integral 범위 -sqrt(4-x^2) 부터 sqrt(4-x^2) [ Integral 범위 x^2+y^2 부터 4 (dz) ] dy ] dx

(2) dy dx dz 순서 Integral 범위 0 부터 4 [ Integral 범위 -sqrt(z) 부터 sqrt(z) [ Integral 범위 -sqrt(z-x^2) 부터 sqrt(z-x^2) (dy) ] dx ] dz

(3) dx dy dz 순서 Integral 범위 0 부터 4 [ Integral 범위 -sqrt(z) 부터 sqrt(z) [ Integral 범위 -sqrt(z-y^2) 부터 sqrt(z-y^2) (dx) ] dy ] dz

4.
(a) 직교좌표 Integral 범위 -sqrt(3) 부터 sqrt(3) [ Integral 범위 -sqrt(3-x^2) 부터 sqrt(3-x^2) [ Integral 범위 1 부터 sqrt(4-x^2-y^2) (dz) ] dy ] dx

(b) 원기둥 좌표 반지름 r의 범위는 0부터 sqrt(3)까지. Integral 범위 0 부터 2pi [ Integral 범위 0 부터 sqrt(3) [ Integral 범위 1 부터 sqrt(4-r^2) (r dz) ] dr ] d(theta)

(c) 구좌표 평면 z=1은 구좌표로 rho * cos(phi) = 1 즉, rho = sec(phi). 만나는 각도 phi는 pi/3 (60도). Integral 범위 0 부터 2pi [ Integral 범위 0 부터 pi/3 [ Integral 범위 sec(phi) 부터 2 (rho^2 * sin(phi) d(rho)) ] d(phi) ] d(theta)

5.
(1) 함수 및 기준점 함수: f(x, y, z) = x^(1/2) + y^(1/3) + z^(1/4) 기준점 P0: (4, 27, 256) 함수값: 2 + 3 + 4 = 9

(2) 증분 (Delta) Delta x = 0.2, Delta y = -0.3, Delta z = 0.4

(3) 편미분값

fx (x=4) = 1/4

fy (y=27) = 1/27

fz (z=256) = 1/256

(4) 근삿값 계산 L = 9 + (1/4)(0.2) + (1/27)(-0.3) + (1/256)(0.4) L = 9 + 0.05 - 1/90 + 1/640

답: 9 + 1/20 - 1/90 + 1/640

6.
(1) 선형 근사식 L(x,y) 기준점 함수값: sqrt(1 + 4 + 4) = 3 편미분값: fx = 4/3, fy = 2/3

답: L(x,y) = 3 + (4/3)(x-1) + (2/3)(y-2)

(2) 근삿값 x=1.1, y=2.05 대입 L = 3 + (4/3)(0.1) + (2/3)(0.05) L = 3 + 0.4/3 + 0.1/3 = 3 + 0.5/3 = 3 + 1/6

답: 19/6

7.
계산: Integral 범위 pi/4 부터 pi [ Integral 범위 0 부터 2 (r^2 * r dr) ] d(theta) = (pi - pi/4) * [r^4 / 4] (0에서 2까지) = (3pi/4) * 4

답: 3pi

8.
(1) 변수 변환 u = x - y, v = x - 3y 로 설정. 새로운 범위: u는 -1에서 1까지, v는 -9에서 -5까지.

(2) 야코비안 (Jacobian) J = -1/2, 따라서 |J| = 1/2

(3) 적분 계산 피적분 함수 (x-y)는 u로 변환. Integral 범위 -9 부터 -5 [ Integral 범위 -1 부터 1 ( u * 1/2 ) du ] dv

내부 적분 Integral 범위 -1 부터 1 (u) du는 기함수의 대칭 구간 적분이므로 0이 됩니다.

답: 0

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