[기출문제] 영남대 미분적분학 2024-1 기말 기출문제 (정답 포함)

영남대 미분적분학 2024-1 기말 기출문제 (정답 포함)

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	영남대 미분적분학
시험명	2024-1 기말고사
문항수/형식	약술형, 서술형
교수명	서호원
정답/해설	✅ 있음
파일형식	PDF

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

출제 범위 & 키워드

회전체 부피·정적분 계산·급수의 수렴 판정·매개변수 곡선의 길이

 

📚 키워드

회전체 부피(디스크/와셔법), 정적분 치환·분수식 적분, 급수 발산/수렴 판정(비교·적분·p-series), 매개변수 곡선의 길이 공식, 미분 계산

 

 

3. 기출 미리보기

 

 

문제: 양수 x 에 대하여 두 함수
y = 5/(2x) + 1/2
y = (7 - x)/2
로 둘러싸인 영역을 y축을 기준으로 회전한 부피를 구하시오. (10점)

답: ■ 두 함수의 교점 구하기

5/(2x) + 1/2 = (7 - x)/2

양변 2 곱하면:
5/x + 1 = 7 - x
5/x = 6 - x
5 = x(6 - x)
x^2 - 6x + 5 = 0
(x - 1)(x - 5) = 0

따라서 교점:
x = 1, 5

 

■ y축 회전이므로 원통껍질법(shell method)

반지름 = x
높이 = y_upper - y_lower

y_upper = (7 - x)/2
y_lower = 5/(2x) + 1/2

높이 h(x):
h(x) = (7 - x)/2 - [5/(2x) + 1/2]
= 3 - x/2 - 5/(2x)

부피 V:
V = 2π ∫(x=1 → 5) x * [3 - x/2 - 5/(2x)] dx

정리하면:
V = 2π ∫(1→5) [3x - x^2/2 - 5/2] dx

 

■ 적분 수행

∫ 3x dx = 3x^2/2
∫ x^2/2 dx = x^3/6
∫ 5/2 dx = 5x/2

따라서 부피:
V = 2π * [ 3x^2/2 - x^3/6 - 5x/2 ] (1→5)

 

■ x = 5 대입
3*(25)/2 - 125/6 - 5*5/2
= 75/2 - 125/6 - 25/2
= 50/2 - 125/6
= 25 - 125/6
= (150/6 - 125/6)
= 25/6

 

■ x = 1 대입
3/2 - 1/6 - 5/2
= -1 - 1/6
= -7/6

 

■ 상한 - 하한
25/6 - ( -7/6 )
= 32/6
= 16/3

 

■ 최종 부피

V = 2π * (16/3)
V = 32π/3

 

 

4. 자료 보기

 

[기출 문제, 답안]

 

*아래 파일에 첨부되어 있습니다!