미분적분학

서강대 미분적분학 2024-2 중간 기출문제 (정답 포함)

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2025.12.02 10:42

1. 시험 정보

학교/과목	서강대
시험명	2024-2 중간
문항수/형식	서술형 11문제
교수명	안일주 교수님
정답/해설	✅ 있음
파일형식	-

2. 출제 범위 & 키워드

미분·적분·극좌표·역삼각/역쌍곡함수 등 고급 미적분 전 범위(극한, 접선, 뉴턴법, 회전체·면적·적분 계산)

📚 키워드
접선, 극한, 미분근사, 뉴턴법, tanh⁻¹, 역삼각함수, 극좌표(수평접선·면적), 무한적분, 치환적분, 셸법, 회전면 넓이

3. 기출 미리보기

문제 1
곡선 〖tan⁡〗^(-1) (√(x+y))+〖cos⁡〗^(-1) (2x-2y)=3π/4 위의 점 (1/2,1/2)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (3점)

4. 자료 보기

[기출 문제]

문제 1
곡선 〖tan⁡〗^(-1) (√(x+y))+〖cos⁡〗^(-1) (2x-2y)=3π/4 위의 점 (1/2,1/2)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (3점)

문제 2
다음 극한을 계산하시오. (3점)
(lim⁡)┬(x→0^+ ) (sin⁡xln⁡(1-e^(-x)))/x

문제 3
∛6.048≈2.0031486

일 때, f(x)=∛x이고 dx=0.048일 때의 미분(differential)을 이용하여 얻은 근삿값과
초깃값 x_1=3일 때 뉴턴의 방법을 한 번 적용하여 얻은 근삿값 x_2중 어떤 것이 참값에 더 가까운지 설명하시오. (4점)

문제 4
-1<x<1일 때,y=〖tanh⁡〗^(-1) x 를 로그함수로 나타내시오. (3점)

문제 5
(문제 4를 이용하여)
-π/3<x<π/3일 때, 다음 항등식을 증명하시오. (3점)
〖tanh⁡〗^(-1) (sin⁡(2x))=2〖tanh⁡〗^(-1) (tan⁡x)

문제 6
극곡선 r=3+2cos⁡θ가 수평접선을 갖는 극좌표점을 모두 구하시오. (4점)

문제 7
극곡선
r=3+2cos⁡θ""와"" r=3+2sin⁡θ 의 내부의 공통 영역의 면적을 구하시오. (4점)

문제 8
다음 적분을 계산하시오. (4점)
∫_0^∞ (x〖tan⁡〗^(-1) x)/((1+x^2 )^2 ) dx

문제 9
다음 적분을 계산하시오. (4점)
∫_(-1)^(√3) 1/√(8+7x+5x^2 ) dx

문제 10
곡선 y=〖cot⁡〗^(-1) x,x=0,y=π/3 로 둘러싸인 영역을 직선 x=2축으로 회전하여 만들어지는 입체의 부피를
원통 셸(cylindrical shell) 방법을 이용하여 구하시오. (4점)

문제 11
곡선 3y^2=x(1-x)^2 의 고리 부분을 x축으로 회전시킨 입체의 회전면(surface of revolution) 넓이를 구하시오. (4점)

[정답]

1. y=97x+181
2. x→0+limlnx=−∞
3. 미분근사값(1.82)이 훨씬 근접
4. e^(2y)=(1+x)/(1−x)
5. tanh−1(sin2x)=1/2ln{(1+t)/(1−t)}^2=2tanh−1t
6. r=3+2(0.425)=3.85 / cosθ≈0.425 , 𝜃≈65°
7. A=17pi/8 + 3
8. I=8π
9. I=1/sqrt(5) * sinh-1{10(x+0.7)/sqrt(51)}|x=sqrt(3)->-1
10. V=2π[π/3−ln2/2]
11. S= 3.41pi

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