[기출문제] 충북대 미분적분학 2025-1 중간 기출문제 (정답 포함)

문제 1. (곡선의 길이)$x=1$에서 $x=3$까지 곡선 $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4x}$의 길이를 구하시오.

문제 2. (회전체의 부피 - 원판/와셔법)두 곡선 $y = \sqrt{x}$와 $y = \frac{1}{2}x$로 둘러싸인 영역을 $x$축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하시오.

문제 3. (회전체의 부피 - 원통각법)곡선 $y = e^{x^2}$와 $x$축, 그리고 두 직선 $x=0$, $x=1$로 둘러싸인 영역을 $y$축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하시오.

문제 4. (회전체의 겉넓이)곡선 y=2x−x2​ (0.5≤x≤1.5)을 x축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 곡면의 겉넓이를 구하시오.(힌트: $y = \sqrt{1-(x-1)^2}$로 변형하여 계산을 단순화할 수 있습니다.)

문제 5. (음함수의 미분과 접선)방정식 $x^3 + y^3 = 6xy$로 주어진 곡선 (데카르트의 엽선) 위의 점 $(3, 3)$에서 이 곡선에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.

문제 1. (곡선의 길이)문제: $x=1$에서 $x=3$까지 곡선 $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4x}$의 길이를 구하시오.

풀이:곡선의 길이 공식 L=∫ab​1+(y′)2​dx를 사용합니다.먼저 y를 x에 대해 미분합니다. (y=31​x3+41​x−1)y′=dxd​(31​x3+41​x−1)=x2−41​x−2=x2−4x21​1+(y′)2을 계산합니다.(y′)2=(x2−4x21​)2=(x2)2−2(x2)(4x21​)+(4x21​)2=x4−21​+16x41​1+(y′)2=1+(x4−21​+16x41​)=x4+21​+16x41​1+(y′)2을 완전제곱식으로 만듭니다.x4+21​+16x41​=(x2+4x21​)2적분합니다.1+(y′)2​=(x2+4x21​)2​=x2+4x21​ (구간 $[1, 3]$에서 양수)L=∫13​(x2+4x21​)dx=∫13​(x2+41​x−2)dxL=[31​x3−41​x−1]13​=[3x3​−4x1​]13​L=(333​−4(3)1​)−(313​−4(1)1​)L=(9−121​)−(31​−41​)L=(12108−1​)−(124−3​)=12107​−121​=12106​=653​
답: $L = \frac{53}{6}$

문제 2. (회전체의 부피 - 원판/와셔법)문제: 두 곡선 $y = \sqrt{x}$와 $y = \frac{1}{2}x$로 둘러싸인 영역을 $x$축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하시오.

풀이:원판/와셔법 공식 V=π∫ab​[(R(x))2−(r(x))2]dx를 사용합니다.교점을 구합니다.x​=21​x⟹x=41​x2⟹x2−4x=0⟹x(x−4)=0교점은 x=0과 x=4입니다. (적분 구간: [0,4])구간 $[0, 4]$에서 바깥쪽 반지름 $R(x)$과 안쪽 반지름 $r(x)$을 결정합니다.x=1을 대입하면 y=1​=1이고 y=21​(1)=0.5이므로, $y = \sqrt{x}$가 위쪽(바깥쪽)입니다.R(x)=x​r(x)=21​x부피를 계산합니다.V=π∫04​[(x​)2−(21​x)2]dxV=π∫04​(x−41​x2)dxV=π[21​x2−41​⋅31​x3]04​=π[2x2​−12x3​]04​V=π[(242​−1243​)−(0)]V=π(216​−1264​)=π(8−316​)V=π(324−16​)=38π
​답: $V = \frac{8\pi}{3}$

문제 3. (회전체의 부피 - 원통각법)문제: 곡선 $y = e^{x^2}$와 $x$축, 그리고 두 직선 $x=0$, $x=1$로 둘러싸인 영역을 $y$축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하시오.

풀이:원통각법 공식 V=2π∫ab​x⋅h(x)dx를 사용합니다.적분 구간은 $x=0$에서 $x=1$까지 ($[0, 1]$)입니다.회전축($y$축)으로부터의 반지름은 $r = x$입니다.원통의 높이는 $h(x) = y = e^{x^2}$입니다.부피를 계산합니다.V=2π∫01​x⋅ex2dxu=x2로 치환 적분합니다.du=2xdx⟹xdx=21​du적분 구간 변경:x=0⟹u=02=0x=1⟹u=12=1V=2π∫01​eu(21​du)=π∫01​euduV=π[eu]01​V=π(e1−e0)=π(e−1)
답: $V = \pi(e - 1)$

문제 4. (회전체의 겉넓이)문제: 곡선 $y = \sqrt{2x-x^2}$ ($0.5 \le x \le 1.5$)을 $x$축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 곡면의 겉넓이를 구하시오.

풀이:회전체 겉넓이 공식 S=2π∫ab​y1+(y′)2​dx를 사용합니다.먼저 y를 x에 대해 미분합니다. (y=(2x−x2)1/2)y′=21​(2x−x2)−1/2⋅(2−2x)=2x−x2​1−x​1+(y′)2을 계산합니다.(y′)2=2x−x2(1−x)2​1+(y′)2=1+2x−x2(1−x)2​=2x−x2(2x−x2)+(1−2x+x2)​=2x−x21​$\sqrt{1 + (y')^2}$을 계산합니다.1+(y′)2​=2x−x21​​=2x−x2​1​겉넓이를 계산합니다.S=2π∫0.51.5​y1+(y′)2​dxS=2π∫0.51.5​(2x−x2​)⋅(2x−x2​1​)dxS=2π∫0.51.5​1dxS=2π[x]0.51.5​S=2π(1.5−0.5)=2π(1)=2π(참고: y=2x−x2​⟹y2=2x−x2⟹(x−1)2+y2=1이는 중심이 $(1, 0)$이고 반지름이 1인 원의 윗부분입니다. 이 곡선을 x축으로 회전시키면 구의 일부분이 됩니다.)
답: $S = 2\pi$

문제 5. (음함수의 미분과 접선)문제: 방정식 $x^3 + y^3 = 6xy$로 주어진 곡선 (데카르트의 엽선) 위의 점 $(3, 3)$에서 이 곡선에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:음함수의 미분법을 사용하여 dxdy​ (접선의 기울기)를 구합니다.방정식 x3+y3=6xy의 양변을 x에 대해 미분합니다. (우변은 곱의 미분법 사용)dxd​(x3)+dxd​(y3)=dxd​(6xy)3x2+3y2⋅dxdy​=6(1⋅y+x⋅dxdy​)3x2+3y2y′=6y+6xy′$y'$에 대해 정리합니다.3y2y′−6xy′=6y−3x2y′(3y2−6x)=6y−3x2y′=3y2−6x6y−3x2​=3(y2−2x)3(2y−x2)​=y2−2x2y−x2​점 $(3, 3)$에서 접선의 기울기 m을 구합니다.m=y′∣(3,3)​=(3)2−2(3)2(3)−(3)2​=9−66−9​=3−3​=−1점 $(3, 3)$을 지나고 기울기가 m=−1인 접선의 방정식을 구합니다.y−y1​=m(x−x1​)y−3=−1(x−3)y−3=−x+3y=−x+6
답: $y = -x + 6$ (또는 $x + y = 6$)