중앙대학교 다빈치캠퍼스 통계학개론 (기초통계학) 2025-1 기말 기출문제 (정답 포함)
1. 시험 정보
| 학교/과목 |
중앙대학교 다빈치캠퍼스 통계학개론 (기초통계학) |
| 시험명 |
2025-1 기말고사 |
| 문항수/형식 |
서술형 4개 |
| 교수명 |
김영화 교수님 |
| 정답/해설 |
✅ 있음 |
| 파일형식 |
- |
2. 출제 범위 & 키워드
출제 범위 & 키워드
확률·통계학 이론 기출로, 확률변수와 누적분포함수(CDF)의 성질, 독립·조건부확률·포함관계 증명, 포아송 분포의 합, 카이제곱분포와 표본분산의 불편성을 이론·증명 중심으로 평가함.
📚 키워드
CDF(비감소·우연속·극한성질), 모수·층화추출, 배반·독립사건, 조건부확률·가산성, 포아송 분포 합성(Pois(λ₁+λ₂)), χ² 분포(자유도·기댓값·분산), 표본분산 불편성(E[S²]=σ²)
3. 기출 미리보기
1. 다음 용어 정의 또는 설명
1-1. 누적분포함수
1-2. 모수
1-3. 층화추출법
1-4. 배반사건
4. 자료 보기
[기출문제]
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1. 다음 용어 정의 또는 설명
1-1. 누적분포함수
1-2. 모수
1-3. 층화추출법
1-4. 배반사건
2. A,B가 표본공간 S의 사건일 때 증명
2-1. P(A∩B)≤P(A)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)
2-2. A와 𝐵가 서로 독립이면 Ac와 Bc도 서로 독립이다.
2-3. 조건: 𝑃(𝐴∣𝐵)+𝑃(𝐴𝑐∣𝐵𝑐)=1P(A∣B)+P(Ac∣Bc)=1.
3.X∼Pois(λ1), Y∼Pois(λ2) 서로 독립일 때 𝑁=𝑋+𝑌의 분포 유도
4. X1,…,Xn∼iid N(μ,σ2). 다음에 답하라.
4-1. 자유도가 1인 𝜒2-확률변수 정의하고 기댓값 구하라.
4-2. S2=(n−1)-1∑i=1n(Xi−X)2이 𝜎2의 불편추정량임을 증명하라.
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[정답]
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1-1. 확률변수
𝑋에 대해 𝐹𝑋(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)FX(x)=P(X≤x). 모든 𝑥에 대해 비감소, 우연속(right-continuous), lim𝑥→−∞𝐹𝑋(𝑥)=0, lim𝑥→∞𝐹𝑋(𝑥)=1.
1-2. 확률모형(분포)을 특정하는 상수값. 모수는 자료의 분포 형태를 결정한다.
1-3. 모집단을 이질적 집단(층)으로 나눈 뒤 각 층에서 표본을 추출하는 방법. 층간 이질성↑, 층내 동질성↑이면 효율적인 추정 가능.
1-4. 두 사건 𝐴,𝐵가 동시에 일어날 수 없으면 배반(서로 배타)이라 한다: 𝐴∩𝐵=∅. 그러면 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+(𝐵).
2-1. A∩B⊆A⊆A∪B이고 확률은 포함관계에 따라 비감소이므로 앞의 부등식들 성립. 마지막 부등식은 가산성으로
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)≤P(A)+P(B).
2-2. 독립이면 P(A∩B)=P(A)P(B).
𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−[𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)]=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B)=(1−P(A))(1−P(B))=P(Ac)P(Bc). 따라서 독립.
2-3. P(A∣B)=P(A∩B)/P(B) (단 𝑃(𝐵)>0P(B)>0), 𝑃(𝐴𝑐∣𝐵𝑐)=𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)/𝑃(𝐵𝑐). 가정으로부터 𝑃(𝐴∩𝐵)/𝑃(𝐵)+𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)/1−𝑃(𝐵)=1. 정리하면 P(A∩B)=P(A)P(B).
3. 독립일 때 합은 포아송: 𝑃(𝑁=𝑛)=∑𝑘=0𝑛𝑃(𝑋=𝑘)𝑃(𝑌=𝑛−k)=∑𝑘=0 𝑛 𝑒−𝜆1 𝜆1𝑘/𝑘! 𝑒−𝜆2 𝜆2𝑛−𝑘/(𝑛−𝑘)!=𝑒−(𝜆1+𝜆2)1𝑛!∑𝑘=0n(𝑛𝑘)𝜆1𝑘 𝜆2𝑛−𝑘=𝑒−(𝜆1+𝜆2)(𝜆1+𝜆2)𝑛/𝑛!. 따라서 𝑁∼Pois(𝜆1+𝜆2).
4-1. 정의: 표준정규 Z∼N(0,1)이면 Z2는 자유도 1인 𝜒12.
기댓값: E[χ12]=𝐸[𝑍2]=Var(𝑍)+[𝐸(𝑍)]2=1+0=1. (따라서 평균 1, 분산 2)
4-2. 표준 결과: E[∑i=1n(Xi−X)2]=(n−1)σ2. 따라서 𝐸[𝑆2]=𝜎2.
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욕설/비하 발언
