성균관대 미분적분학 2021-1 기말 기출문제 (정답 포함)

성균관대 미분적분학 2021-1 기말 기출문제 (정답 포함)

 

 

1. 시험 정보

 

학교/과목	성균관대 미분적분학
시험명	2021-1 기말고사
문항수/형식	T/F, 서술형
교수명	배종식
정답/해설	✅ 있음
파일형식	PDF

 

 

2. 출제 범위 & 키워드

 

출제 범위 & 키워드
실해석·급수·적분 응용 전형 문제로, 비정적분(특이점/무한구간) 수렴판정, 멱급수의 수렴반경 및 항별 조작(미분·전개), 교대급수·비교·적분·비·근판정법 및 **함수의 연속성·적분가능성(가우스 적분 예: e^{−x^2})**을 다룬다. 또한 다항·초월급수의 전개식·원시함수 존재 여부·극좌표 곡선의 호길이 등도 포함된다.

 

📚 키워드
비정적분 수렴판정, p-적분, 비교판정법, 적분판정법, 멱급수(radius of convergence), 테일러·멕클로린 전개, 항별 미분, 이항급수(binomial series), 교대급수(Leibniz), 절대/조건 수렴, 비/근/루트 판정법, 가우스적분(e^{-x^2}), 적분가능성·연속성, 급수 수렴구간, 극좌표 호길이 (cardioid)

 

 

3. 기출 미리보기

 

 

I. (각 10점) 다음을 보고 T/F 표시하시오.

(오답 1개당 -5점)

( ) ∫(1→∞) 1 / x^(4/3) dx 는 수렴한다.

( ) 수열 a_n = n! / n^n 은 수렴한다.

( ) 단조 감소 수열 {a_n} 이 있고, 모든 n ≥ 1 에 대해 a_n < 4/3 이면 이 수열은 수렴한다.

( ) ∫(-∞→0) x * e^x dx 는 발산한다.

( ) d/dx [ Σ(n=0→∞) c_n (x−a)^n ] = Σ(n=0→∞) d/dx [ c_n (x−a)^n ] 은 모든 x ∈ R 에 대해 성립한다.

( ) |x| < 1 일 때,
(1 + x)^(√2) = Σ(n=0→∞) ( (√2 choose n) * x^n )
= 1 + √2 x + [ √2(√2−1)/2! ] x^2 + [ √2(√2−1)(√2−2)/3! ] x^3 + …

( ) 함수 f(x) = sin(x^2) 는 부정적분이 존재한다.

( ) Σ(n=0→∞) x^n / n! = Σ(n=0→∞) e^π / n! * (x − π)^n

( ) ∫(0→4/3) dx / (x−1) = ln|x−1|]_0^(4/3) = ln(4/3 − 1) − ln|0 − 1| = ln(1/3) − ln(1)

( ) cardioid r = 1 + sinθ 의 길이는 L = 8 이다.

 

II. (각 10점)

다음에서 f(x) = e^(−x^2) 는 원시함수가 존재하지 않는 함수임을 이용하여 물음에 답하시오.

f(x) = e^(−x^2) 가 [0, ∞) 에서 연속임을 보이시오. (도함수 이용)

f(x) = e^(−x^2) 가 [0, 4/3] 에서 적분 가능함을 보이시오.

∫(4/3→∞) e^(−x) dx = e^(−4/3) 임을 보이시오.

∫(0→4/3) e^(−x^2) dx 가 수렴함을 보이시오.

∫(0→∞) e^(−x^2) dx 가 수렴함을 보이시오.

 

III. (10점)

다음 급수 Σ(n=1→∞) [ (x−4/3)^n / n ] 가 수렴하는 x 의 값을 구하시오.

IV. (각 10점) 다음 급수의 수렴/발산을 판정하시오.

Σ(n=1→∞) n / (2n^2 − 4n − 4)

Σ(n=1→∞) (−1)^n * 4^3 n / (2n − 7)

Σ(n=1→∞) (−1)^(n+1) * n^2 / (n^3 + 10n + 4/3)

Σ(n=3→∞) (2n + 4/3) / (n^2 * ln n)

4. 자료 보기

 

 

[기출 문제 및 정]

 

*문제는 아래 PDF 파일에 첨부되어 있습니다! 정답: 1번 순서대로 TTFFF TTTFT